Si $1\le\lambda \le \kappa$ son cardenales, con $\kappa$ infinito y $\lambda<\text{cf}(\kappa)$ , entonces cada mapa $\lambda\to\kappa$ está acotado

Question

Intento demostrar la afirmación del título, que es un paso en la demostración de un lema de Kunen Los fundamentos de las matemáticas . Procediendo por contradicción, dejemos $f:\lambda\to\kappa$ sea ilimitado, y ponga $X=\text{ran}(f)$ . Desde $\sup X=\kappa$ tenemos, por definición de cofinalidad $$\lambda<\text{cf}(\kappa)\le \text{type}(X)$$ Ahora bien, como $\text{cf}(\kappa)$ es regular, es un cardinal, y como $\lambda$ es también un cardinal, deducimos que $\lambda \prec \text{cf}(\kappa)$ es decir, no hay inyección de $\lambda$ en $\kappa$ . Entonces, como $f$ es una suryección de $\lambda$ en $X$ (Estoy asumiendo la elección a lo largo de toda esta pregunta) $$\lambda\prec \text{cf}(\kappa)\preceq\text{type}(X)\preceq \lambda$$ que es una contradicción (nótese el sutil cambio de tipografía de $<$ a $\prec$ ).

¿Es correcto este argumento? ¿Hay alguna forma más fácil de verlo? Kunen no tiene tendencia a hacer grandes saltos, y aunque esto no es demasiado difícil, no ofrece ninguna justificación, lo cual es un poco extraño.

EDIT: Para aclarar, $\text{type}(X)$ es el único ordinal isomorfo a $(X,\in)$ y Kunen define

$$\text{cf}(\kappa)=\min\{\text{type}(X): X \subset \kappa, \sup X =\kappa\}$$

Answer 1

Tu argumento funciona, siempre que toda la maquinaria necesaria esté en marcha; al no haber visto el libro, no puedo juzgar eso. Yo argumentaría un poco más explícitamente:

Según la definición de cofinalidad hay un conjunto $C=\{\gamma_\xi:\xi<\operatorname{cf}\kappa\}$ tal que $\sup C=\kappa$ y $\gamma_\xi<\gamma_{\xi+1}$ para cada $\xi<\operatorname{cf}\kappa$ . Desde $\sup X=\kappa$ para cada $\eta<\operatorname{cf}\kappa$ podemos dejar que

$$g(\eta)=\min\left\{\xi<\lambda:f(\xi)>\max\big\{\gamma_\eta,\sup\{g(\zeta)+1:\zeta<\eta\}\big\}\right\}\;.$$

Entonces $g$ es una inyección (de hecho, una función estrictamente creciente) de $\operatorname{cf}\kappa$ en $\lambda$ contradiciendo la hipótesis de que $\lambda<\operatorname{cf}\kappa$ .

Tenga en cuenta que no es necesario $\mathsf{AC}$ en cualquier lugar. Este es el caso de su argumento también, ya que tanto el dominio como el rango de $f$ vienen equipadas con pozos de ordenación.