Integrar $\int_0^1 \ln{\left(\ln{\sqrt{1-x}}\right)} \mathop{dx}$

Question

El problema dice que hay que integrar $$\int_0^1 \ln{\left(\ln{\sqrt{1-x}}\right)} \mathop{dx}$$ Intento $u=1-x$ y consiguió $$\int_0^1 -\ln{2}+\ln{(\ln{u})} \mathop{du}$$ Entonces $t=\ln{u}$ $$-\ln{2}+\int_{-\infty}^0 e^t \ln{t}$$ ¿Y ahora qué?

Answer 1

SUGERENCIA:

Le site Constante de Euler-Mascheroni puede expresarse como

$$\gamma =-\int_0^\infty e^{-x}\log(x)\,dx$$

Answer 2

Estás en el camino correcto. Para evaluar $\int_{-\infty}^0 e^t \ln{t} \; dt$ , yo haría otra sustitución con $w=-t$ : $$\int_0^{\infty} e^{-w} \ln{(-w)} \; dw$$ $$=\int_0^{\infty} e^{-w} \ln{(-1)} \; dw + \int_0^{\infty} e^{-w} \ln{(w)} \; dw$$ Ahora, la integral de la izquierda es fácil y utilizaremos sólo el valor principal de $\ln{(-1)}=\pi i$ : $$\pi i \int_0^{\infty} e^{-w} \; dw = \pi i$$ Para evaluar la integral correcta, se quiere expresar $e^{-w}$ como su definición límite para finalmente manipularla en la constante de Euler-Mascheroni: $$\lim_{n \to \infty} \int_0^n {\left(1-\frac{w}{n}\right)}^{n-1} \ln{w} \; dw$$ Dejemos que $u=1-\frac{w}{n}$ : $$\lim_{n \to \infty} n\int_0^1u^{n-1} \ln{\left(n(1-u\right)} \; du$$ $$=\lim_{n \to \infty} n\ln{n}\int_0^1u^{n-1}\; du+n\int_0^1 u^{n-1} \ln{(1-u)} \; du$$ $$=\lim_{n \to \infty} \ln{n}-n\int_0^1 u^{n-1} \sum_{j=1}^{n} \frac{u^j}{j} \; du$$ Y por el teorema de convergencia dominante podemos intercambiar el signo de la suma y la integral: $$=\lim_{n \to \infty} \ln{n}-n\sum_{j=1}^{n}\int_0^1 \frac{u^{n+j-1}}{j} \; du$$ $$=\lim_{n \to \infty} \ln{n}-\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}-\frac{1}{j+n}$$ $$=\lim_{n \to \infty} \ln{n}-\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}$$ $$= -\gamma$$ Por lo tanto, la integral original se evalúa como $$\boxed{-\ln{2}-\gamma+ \pi i}$$

Answer 3

Esto es interesante. Tenga en cuenta que si $x \in (0,1)$ entonces $1-x \in (0,1)$ y $\sqrt{1-x} \in (0,1)$ que hace que $\ln\left(\sqrt{1-x}\right) \in (-\infty,0)$ . ¿Qué sucede cuando se toma otro logaritmo de eso?

Una pista: si se trabaja en los números reales, esta integral no existe.

¿Busca métodos de integración complejos?