Mi profesor nos planteó la semana pasada una pregunta sobre el límite de una función como $k \to \infty$ . Nos pidió que probáramos que $\int \lim_{k \to \infty} f(x)e^{-\frac{x^2}{k}} dx = \int f(x)dx$ . Esto parece bastante básico, ya que se puede demostrar directamente que la parte exponencial del integrando, $e^{-\frac{x^2}{k}} \to 1$ como $k \to \infty$ . ¿Hay algo que se me escapa? ¿Se necesitan pasos adicionales para demostrar que la integral del límite es igual al límite de la integral? ¿Es esto necesario? Me parece que esta pregunta es demasiado simple en relación con el resto del material de la clase, pero no estoy seguro de lo que me estoy perdiendo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
gabr
Puntos
20458
En un intervalo o conjunto compacto, $f(x) e^{-x^2/k} \to f(x)$ uniformemente . Entonces puedes conseguir $\int \lim = \lim \int$ de la integración de Riemann.
En una clase de teoría de Lebesgue, parece que estás integrando con medida uniforme en algún conjunto medible. Así que tal vez usted necesita convergencia dominada .
Sí, es cierto, $f(x) e^{-x^2/k} \to f(x)$ en el sentido de la palabra y $|f(x) e^{-x^2/k}| \leq f(x)$ . Por lo tanto,
$$ \lim_{k \to \infty} \int f(x) e^{-x^2/k} \, dx \to \int f(x) \, dx$$
Así que sólo tienes que estar seguro de que todo es integrable.
