Desigualdad que relaciona las probabilidades de un estado cuántico con la distancia euclidiana de los estados.

Question

Mi profesor nos ha proporcionado la siguiente proposición (sin pruebas).

Estoy intentando demostrar esto. Tengo bastantes problemas para demostrar la primera desigualdad, justo debajo de la primera frase. He intentado utilizar la desigualdad del triángulo, Cauchy-Schwartz y la fuerza bruta varias veces, pero sin éxito.

Agradecería cualquier recomendación sobre cómo intentar solucionarlo, sin dejar de aportar la prueba completa.

Nota: Utilizamos "estados" de forma equivalente a "vector unitario". Para aclarar, estamos en un espacio de Hilbert de dimensión finita (según el comentario de Adrian Keister).

Answer 1

Dejemos que $\psi^\perp$ , $\phi^\perp$ sean las proyecciones de $\psi$ , $\phi$ en el subespacio perpendicular a $x$ .

$ |\langle x|\psi\rangle |^2 = 1- \lVert \psi^\perp \rVert ^2 $ y $ |\langle x|\phi\rangle|^2 = 1- \lVert \phi^\perp \rVert ^2 $ por lo que el LHS es $$ \lvert \lVert \psi^\perp \rVert ^2 - \lVert \phi^\perp \rVert ^2 \rvert = \lvert \lVert \psi^\perp \rVert + \lVert \phi^\perp \rVert \rvert \quad \lvert \lVert \psi^\perp \rVert - \lVert \phi^\perp \rVert \rvert \le 2\lvert \lVert \psi^\perp \rVert - \lVert \phi^\perp \rVert \rvert$$ Para longitudes dadas, $\lVert \psi^\perp - \phi^\perp \rVert$ es menor cuando los vectores están en la misma dirección, cuando es igual a $\lvert \lVert \psi^\perp \rVert - \lVert \phi^\perp \rVert \rvert$ y $\lVert \psi^\perp - \phi^\perp \rVert \le \lVert \psi - \phi \rVert$