Invertir la desigualdad RMS-AM

Question

La desigualdad RMS-AM establece que para números reales positivos $x_1,\ldots,x_n$ , $$AM=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\leq\sqrt{\frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}{n}}=RMS.$$ Para dos números positivos $x_1,x_2$ la desigualdad se puede inferir geométricamente a partir del siguiente diagrama.

Si no me equivoco, la imagen también parece implicar que para dos números positivos $x_1,x_2$ ,

$$RMS^2\leq 2\cdot AM^2$$

para que $$AM=\frac{x_1+x_2}{2}\geq\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}RMS.$$

¿Alguien sabe cómo se puede generalizar esto para más de dos números?

Answer 1

Para números no negativos $x_1,\ldots, x_n$ $$ x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le (x_1 + \ldots + x_n)^2 $$ se mantiene, como se puede ver ampliando el lado derecho. De ello se desprende que $$ RMS^2 \le n \cdot AM^2 $$ o $$ AM \ge \frac{1}{\sqrt n} RMS $$ que generaliza su resultado para $n=2$ .

El factor $\frac{1}{\sqrt n}$ es lo mejor posible porque la igualdad se mantiene si $x_1 > 0, x_2 = \ldots x_n = 0$ .