Isomorfismo, grupos cíclicos y generadores

Question

Demostrar que cualquier isomorfismo entre dos grupos cíclicos siempre mapea cada generador a un generador.

Answer 1

Paso 1: Demostrar que cualquier homomorfismo de un grupo cíclico está determinado por su imagen en un generador del grupo.

Paso 2: Demostrar que la imagen del homomorfismo es generada por la imagen de ese generador.

Paso 3: ¿Qué se puede decir del núcleo de dicho homomorfismo? ¿Qué potencias del generador envía a la identidad?

Answer 2

Supongamos que tenemos dos grupos cíclicos $G$ y $G'$ y algún isomorfismo $\phi\colon G\to G'$ . Desde $\phi$ es suryente, para cualquier $g'\in G'$ existe algún $g\in G$ tal que

$$g'=\phi(g).$$

Intenta expresar $g$ y/o $g'$ en cuanto a los generadores, y ver qué pasa a partir de ahí. El hecho de que $\phi$ es un homomorfismo es particularmente útil aquí.