Deje $X$ ser un espacio de Banach y supongamos que $X$ es isométrico a su continuo espacio dual $X^*$. Debe $X$ ser hilbertable en el sentido de que no existe un producto interior lo que induce a la norma en $X$? Lo contrario de esta afirmación es la representación de Riesz teorema de hilbert espacios; me pregunto si el teorema se puede stengthened a "si y sólo si".
Respuesta
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He aquí una construcción:
Tomar cualquier reflexiva espacio de Banach $X$. Tomar la suma directa de $E = X \oplus X^{\ast}$ y dotarla de la norma $\|(x,x^{\ast})\|_E = \left(\|x\|_{X}^2 + \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}}^2\right)^{1/2}$. This space is usually denoted by $E=X \oplus_2 X^{\ast}$ para el corto.
A continuación, $E$ es isométrico a su espacio dual $E^{\ast} = X^{\ast} \oplus_2 X^{\ast\ast}$: Un isomorfismo isométrico es dado por $(x,x^{\ast}) \mapsto (x^{\ast},i_{x})$ donde $i:X \to X^{\ast\ast}$ es la inclusión canónica (por la reflexividad de $X$ el mapa de $i$ es un isomorfismo isométrico).
El espacio de $E$ no ser isomorfo a un espacio de Hilbert, a menos $X$ sí es isomorfo a un espacio de Hilbert.
De hecho, una (real) espacio de Banach es "Hilbertable" si y sólo si cada subespacio cerrado tiene un complemento por un (muy profundo) Teorema de Lindenstrauss y Tzafriri.
Así que: Si $X$ no es isomorfo a un espacio de Hilbert, tiene un subespacio de que no se complementan, y así lo ha $E$.
