Casi todas las fuentes estándar sobre la existencia de espinores de Majorana (por ejemplo, el Apéndice B.1 del libro de Polchinski "Teoría de las cuerdas" Vol. 2) lo hacen de una manera que considero intrínsecamente fea:
A priori, se trata de una representación compleja irreducible $(V,\rho)$ del álgebra de Clifford de firma $(p,q)$ es decir, espinores de Dirac generalizados. Que existan espinores de Majorana significa, en abstracto, que hay un forma real en $V$ es decir, un mapa conjugado-lineal $\phi : V\to V$ con $\phi^2 = \mathrm{id}_V$ que conmuta al menos con el $\mathfrak{so}(p,q)$ acción.
Todas las fuentes que he encontrado para los espinores de Majorana utilizan operaciones como la transposición, la conjugación compleja y el adjunto hermitiano en la $\Gamma$ -matrices a obtener matrices que actúan en el mismo espacio . Esto es abstractamente incorrecto, la transposición actúa sobre el dual, la conjugación compleja sobre el conjugado, y el adjunto hermitiano necesita un producto interno que no tenemos razón para elegir. Por supuesto, ya que $V$ es finito-dimensional, uno puede escoger una base y definir los isomorfismos no canónicos a su dual y su conjugado, pero encuentro esto poco elegante, particularmente porque las derivaciones estándar requieren que hagamos una particular dicha elección con respecto a los signos que el $\Gamma$ -matrices tienen bajo, por ejemplo ${}^\dagger$ . Por último, los espinores de Majorana suelen definirse mediante alguna ecuación que implica un producto no natural y de aspecto arbitrario de $\Gamma$ -matrices, que varía de una fuente a otra según las diferentes convenciones de signos y las elecciones de signos realizadas en el curso de la derivación.
Es poco elegante porque el resto de la teoría de los espinores se puede desarrollar sin hacer esas elecciones poco canónicas. Tanto la unicidad de la dimensión de las representaciones irreducibles de Dirac (hay dos de ellas en dimensiones Impares) como la existencia de los espinores de Weyl en dimensiones pares pueden derivarse puramente de las propiedades abstractas del álgebra de Clifford, sin hacer elecciones, sin que se produzcan transposiciones, adjuntos o conjugados. La pregunta (que es ligeramente subjetiva) es: ¿Hay alguna forma de mostrar en qué dimensiones existen espinores de Majorana que no requiera una elección no canónica de la base ni elecciones arbitrarias de los signos?
Algunos resultados parciales:
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En dimensiones pares, la representación de Dirac es necesariamente autoconjugada ya que es la sólo representación irreducible del álgebra de Clifford, por lo que lo único que queda por demostrar es que una conjugada-lineal $\mathfrak{so}$ -en ella se cuadra con el mapa equivariante $\mathrm{id}_V$ y no a $-\mathrm{id}_V$ . Sin embargo, parece que no puedo exhibir ningún mapa equivariante particular en él que uno podría simplemente comprobar su cuadrado.
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En dimensiones Impares, primero hay que averiguar si las dos representaciones de Dirac no equivalentes son conjugadas entre sí o autoconjugadas.
Para motivar aún más la necesidad de una prueba clara que utilice sólo las propiedades canónicas del álgebra de Clifford, consideremos las afirmaciones confusas y contradictorias de la literatura:
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Polchinski, "Teoría de las cuerdas" Vol. 2, p. 434: $\mathrm{SO}(d-1,1)$ tiene Majoranas para $d = 0,1,2,3,4 \mod 8$ que corresponde a un caso especial de $p-q = d-1-1 = 6,7,0,1,2 \mod 8$ .
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Fecko, "Geometría diferencial y grupos de Lie para físicos" , pp. 651: $\mathrm{Cliff}(p,q)$ tiene Majoranas para $p-q = 0,2\mod 8$ . Esto entra claramente en conflicto con las afirmaciones de Polchinski, por ejemplo, para $d=3$ .
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Figueroa-O'Farrill, "Espinores de Majorana" , pp. 18: Tenemos Majoranas para $p-q = 0,6,7\mod 8$ y "symplectic Majoranas" para $p-q = 2,3,4\mod 8$ .
Obsérvese que estos resultados entran en conflicto simplemente por la número de posibles $p-q$ independientemente de que haya atendido correctamente las diferentes convenciones de si $p$ o $q$ denota las dimensiones temporales.
