Maximizar el volumen de un cilindro cuando la superficie es fija

Question

Sé cómo empezar este problema, pero me quedo atascado cuando se trata de diferenciar al final.

Un cilindro circular recto tiene un radio r cm. y una altura pr cm. La superficie total del cilindro es $S cm^2$ y su volumen es $V cm^3$ .

Encuentra una expresión para V en términos de p y S. Si el valor de S es fijo, encuentra el valor de p para el que V es un máximo.

Lo he dicho:

V = $\pi r^2pr = \pi r^3p$

$S = 2\pi r^2p + 2\pi r^2 = 2\pi r^2(p + 1)$ (Estoy asumiendo un cilindro cerrado)

$r = 2\pi r^2(1 + p)$

Así que $r = \sqrt(\frac{S}{2\pi (1 + p)})$

Sustituyendo en la fórmula del volumen:

$V = \pi p(\frac{S}{2\pi (1 + p)})^{3/2}$

Pero cuando intento diferenciar esto para encontrar el valor máximo me confundo. El libro dice que la respuesta es 2.

Mi ejercicio, por lo que se refiere a él, es el siguiente:

$V = \pi p(\frac{S}{2\pi (1 + p)})^{3/2}$

$dV/dp = \pi p(\frac{3}{2\pi(1 + p)})^{1/2}.\frac{-S2\pi}{4\pi^2(1 + p)^2} + \pi(\frac{S}{2\pi(1 + p)})^{3/2}$

Que = 0 cuando:

$3\pi^2pS(\sqrt(\frac{S}{2\pi(1 + p)})) = \pi(\sqrt(\frac{S}{2\pi(1 + p)}))^3$

Pero después de esto me confundo.

Answer 1

El primer término de tu derivada está mal. $$\begin{align*}&\frac{dV}{dp}=\frac d{dp}\left[\frac{S\sqrt S}{2\sqrt{2\pi}}\frac p{(1+p)^{3/2}}\right]=\frac{S\sqrt S}{2\sqrt{2\pi}}\left[\frac1{(1+p)^{3/2}}-\frac{3p/2}{(1+p)^{5/2}}\right]\\&\frac{dV}{dp}=\frac{S\sqrt S}{4\sqrt{2\pi}}\left[\frac{2-p}{(1+p)^{5/2}}\right]\end{align*}$$ que es $0$ cuando $p=2$ . Comprueba que la derivada es negativa para $p>2$ y positivo para $p<2$ .