¿Es posible mejorar el teorema de incrustación de Whitney?

Question

Editado para arreglar el ejemplo, según la sugerencia de Zack.

Edición 2: Resulta que cuando pienso en "colectores" tiendo a asumir el objeto más bonito posible. Como creo que es estándar, me gustaría suponer que todos los colectores son 2º contables y Hausdorff. Además, digamos que nuestros colectores son conectados y cerrados.

El teorema de Whitney establece que cualquier liso $n$ -puede ser incrustado suavemente en $\mathbb{R}^{2n}$ . Si consideramos las incrustaciones en un $k$ -es posible encontrar un "punto de referencia" en el que se pueda encontrar un "punto de referencia". $n$ -universal" de dimensión inferior a $2n$ ?

Por ejemplo, un 2manifold no orientable no puede ser incrustado en $\mathbb{R}^3$ demostrando la agudeza del teorema de incrustación de Whitney.

Sin embargo, existen 3 manifolds en los que podemos incrustar cualquier superficie, como por ejemplo $M = \mathbb{RP}^3 \sharp \mathbb{RP}^3$ . En efecto, por la clasificación de las superficies sabemos que cualquier superficie puede descomponerse como una suma conectada de copias de $\mathbb{RP}^2$ y Tori. De hecho, por la estructura monoide de las superficies cerradas bajo sumas conectadas podemos tomar esta suma para tener a lo sumo 2 copias del plano proyectivo. Ahora, incrustar 2 copias disjuntas del plano proyectivo en $M$ y un número arbitrario de copias del toro. Tomando la suma conectada de éstas vemos que cualquier superficie cerrada es incrustada en $M$ .

¿Podemos hacer algo similar en dimensiones superiores?

Answer 1

Sí, el teorema de Whitney se puede mejorar en muchos casos. Por ejemplo, C.T.C. Wall demostró que todos los 3-manifolds se incrustan en $\mathbb R^5$ .

Precisamente, ¿cuál es el espacio euclidiano óptimo de dimensiones mínimas que todos $n$ -No sé cuál es la respuesta a esto, pero el teorema de incrustación (fuerte) de Whitney sólo es posible para un número contable de $n$ no para todos $n$ . Ver el trabajo de Haefliger sobre incrustaciones -- creo que él notó muchos casos en los que se puede mejorar a Whitney.

La sugerencia de mejorar el teorema de Whitney que estás dando -hacer que el objetivo no sea un espacio euclidiano sino una variedad- en cierto sentido estás pidiendo algo mucho más débil que el teorema de Whitney. Por ejemplo, dado cualquier $n$ -se puede tomar su producto cartesiano con $S^1$ . Toma la suma de conexión de todos los colectores obtenidos de esta manera. Es un gigante, no compacto $(n+1)$ -y todos los $n$ -Manifiestos incrustados en ella. Esto no es tan interesante.

Answer 2

Asumo que todos los colectores son cerrados y conectados (incrustación en $\mathbb R^n$ o en $S^n$ es el mismo), pero no necesariamente orientable.

En cuanto a la dimensión 3, un famoso teorema de Wall afirma que todo manificio cerrado de 3 dimensiones se incrusta en $S^5$ .

No es posible mejorar este resultado. A teorema de Shiomi muestra que no hay ningún 4manifiesto cerrado que contenga a todos los posibles 3manificios cerrados.

La cuestión de la dimensión 4 parece más complicada. Ya que $4=2^2$ es una de las dimensiones donde el espacio proyectivo real $\mathbb R\mathbb P^4$ se incrusta en $S^8$ y no en $S^7$ . Cada orientable 4 incrustaciones en el manificio topológicamente en $S^7$ por un teorema de Fuquan Fang .