Curvatura (gaussiana) de una hiperesfera

Question

Estoy buscando una fórmula general para la curvatura Gaussiana de una $n$-esfera (el conjunto de puntos en $R^{n+1}$ equidistantes del origen) de radio $r.

Por lo que he leído, habría que considerar $n$ curvaturas principales, pero como este espacio es tan simple, esperaba que hubiera una gran simplificación. Para un círculo, la curvatura Gaussiana es $1/r$ y para una esfera es $1/r^2$, pero parece demasiado simple que sea $1/r^n$ para $S^n$. Sin embargo, si es así, recibiría con gusto cualquier fuente, o simplemente consejos en la dirección correcta.

Answer 1

Su intuición original es correcta. La curvatura gaussiana tiene sentido para una hipersuperficie, mientras que para una variedad de Riemann general, el tensor de curvatura y la curvatura seccional son apropiados. Para una hipersuperficie $X$ en $\mathbb R^n$, la curvatura gaussiana es el Jacobiano de la aplicación de Gauss $\nu\colon X\to S^n$. Para una esfera de radio $r$, tenemos $\nu(x) = x/r$, cuya derivada es $1/r$ veces la aplicación identidad. Así, el determinante es efectivamente $1/r^n$.