Dada una medida de probabilidad $\mu$ apoyado en un conjunto finito $S\subset{\mathbb R}^2$ , defina $$ f(z):=\max\left\{\frac{\mu(x)+\mu(y)}2\colon \frac{x+y}2=z,\ x,y\in S \right\}, \ z\in{\mathbb R}^2. $$ Ahora dejemos que $\bar\mu$ sea el uniforme medida de probabilidad soportada en el mismo conjunto $S$ y definir $$ \bar f(z):=\max\left\{\frac{\bar\mu(x)+\bar\mu(y)}2\colon \frac{x+y}2=z,\ x,y\in S \right\},\ z\in{\mathbb R}^2. $$ (Así $\bar f$ es en realidad una función indicadora escalada del conjunto $\{(x+y)/2\colon x,y\in S\}$ .)
¿Es cierto que para cualquier elección de la medida $\mu$ la masa total de $f$ es al menos tan grande como la masa total de $\bar f$ ?
Como ilustración numérica: si los puntos de $S$ están en una posición general (lo que significa que $x+y=x'+y'$ con $x,y,x',y'\in S$ sólo es posible para $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ), entonces las masas totales de ambos $f$ y $\bar f$ son iguales a $\frac12(|S|+1)$ .
