Suavizar una medida de probabilidad

Question

Dada una medida de probabilidad $\mu$ apoyado en un conjunto finito $S\subset{\mathbb R}^2$ , defina $$f(z):=\max\left\{\frac{\mu(x)+\mu(y)}2\colon \frac{x+y}2=z,\ x,y\in S \right\}, \ z\in{\mathbb R}^2.$$ Ahora dejemos que $\bar\mu$ sea el uniforme medida de probabilidad soportada en el mismo conjunto $S$ y definir $$\bar f(z):=\max\left\{\frac{\bar\mu(x)+\bar\mu(y)}2\colon \frac{x+y}2=z,\ x,y\in S \right\},\ z\in{\mathbb R}^2.$$ (Así $\bar f$ es en realidad una función indicadora escalada del conjunto $\{(x+y)/2\colon x,y\in S\}$ .)

¿Es cierto que para cualquier elección de la medida $\mu$ la masa total de $f$ es al menos tan grande como la masa total de $\bar f$ ?

Como ilustración numérica: si los puntos de $S$ están en una posición general (lo que significa que $x+y=x'+y'$ con $x,y,x',y'\in S$ sólo es posible para $\{x,y\}=\{x',y'\}$ ), entonces las masas totales de ambos $f$ y $\bar f$ son iguales a $\frac12(|S|+1)$ .

Answer 1

No es cierto. Deja que $S=\{1,2,\dotsc,n\}\cup\{2n\}$ . La masa total de $\bar{f}$ es $\approx 3n\cdot (1/n)=3$ . Sea $\mu$ sea la medida uniforme sobre $\{1,2,\dotsc,n\}$ . Para esta elección de $\mu$ la masa total de $f$ es $\approx 2n\cdot (1/n)+n\cdot(1/2n)=2.5$ . Aquí $2n$ cuenta los elementos $\{2,3,\dotsc,2n\}$ y $n$ cuenta los elementos de $2n+1$ a $3n$ . (Si no le gusta eso $\mu(2n)=0$ , a continuación, hacer $\mu(2n)=\varepsilon$ muy pequeño).

La desigualdad opuesta también fracasa, como se comprueba al hacer $\mu(2n)$ en este ejemplo grande, no pequeño.