El límite conforme
Para simplificar, consideremos los objetos compactos no giratorios. Un objeto no giratorio con masa $M$ se convierte en un agujero negro cuando su radio $R$ es $$ R = 2\frac{GM}{c^2} \tag{1} $$ donde $G$ es la constante gravitacional de Newton y $c$ es la velocidad de la luz. La ecuación (1) es la Radio de Schwarzschild . Según la referencia 1, para evitar convertirse en un agujero negro, el radio de un objeto compacto debe ser $$ R\gtrsim 2.83 \frac{GM}{c^2}. \tag{2} $$ La ecuación (2) es la límite de conformación (ref. 4), a veces también llamado restricción de causalidad (pero cuidado que este último nombre también se utiliza para algo diferente). $^\dagger$ Proviene de la ecuación de estado para partículas ultrarelativistas (ref. 2), donde la presión $P$ y la densidad $\rho$ están relacionados entre sí por $P=\rho c^2/3$ . Esto, a su vez, significa que la velocidad del "sonido" en un objeto compacto está limitada por $v\equiv \sqrt{dP/d\rho}\leq c/\sqrt{3}$ que limita la rapidez con la que una parte del objeto puede reaccionar a los cambios de otra parte, lo que a su vez conduce al límite (2). Este límite es coherente con la observación (ref. 1).
$^\dagger$ La condición $v<c/\sqrt{3}$ se denomina "restricción de causalidad" en la ref. 2 y se denomina "límite conforme" en la ref. 4. Otros trabajos utilizan el nombre "restricción de causalidad" para la condición más laxa $v<c$ .
Esto pone un límite a los "casi agujeros negros" (no giratorios): el radio debe ser al menos un 40% mayor que el de un agujero negro. Es de suponer que se puede derivar un límite similar para el caso más realista de los objetos compactos en rotación, pero no lo conozco.
Tanto el radio de Schwarzschild (1) como el límite conforme (2) se indican cerca de la esquina superior izquierda de esta figura de masa versus radio de la ref. 3:
![causality bound from 1305.3510]()
El radio de Schwarzschild es el límite de la región azul oscuro (etiquetado como "GR" para la Relatividad General"), y el límite conforme (etiquetado como "causalidad") es el límite de la región verde superior izquierda. Las curvas negras son varios modelos de estrellas de neutrones, y las verdes son modelos de estrellas de quarks.
El límite de Buchdahl
La ecuación (2) proviene de considerar la ecuación de estado de las partículas ultrarelativistas. Si una ecuación de estado realista pudiera superar el límite conformacional, entonces quizás el límite conformacional (2) podría ser superado. La tabla 2 de la referencia 4 sugiere que esto podría ser posible. No estoy lo suficientemente familiarizado con ese trabajo como para comentar lo realista que es, pero en cualquier caso seguimos teniendo el Buchdahl atado . El límite de Buchdahl viene de requerir que la presión en el centro del objeto sea finita y que la densidad disminuya lejos del centro (ref. 2). El límite de Buchdahl es $$ R > \frac{9}{4}\,\frac{GM}{c^2}, \tag{3} $$ que dice que el radio de un "agujero casi negro" debe ser al menos un 12% mayor que el radio de Schwarzschild.
Esto también supone un objeto no giratorio. No sé cuál es la generalización para un objeto que gira.
Flexión de la luz
Como se explica en la ref 5, si la luz se acerca a un cierto radio crítico de un objeto suficientemente compacto, la gravedad puede ser tan fuerte que la luz bucles alrededor de El objeto se mueve arbitrariamente muchas veces antes de salir de la vecindad, y puede salir en cualquier dirección (dependiendo de los detalles precisos de la cercanía al radio crítico). Ese radio crítico es $3 GM/c^2$ 50% mayor que el radio de Schwarzschild, por lo que un objeto tan compacto como (2) o (3) mostraría este efecto. He aquí un ejemplo de la figura 3 de la ref. 5:
![light bending picture]()
La zona sombreada es un círculo con el radio de Schwarzschild (por lo que el objeto compacto será un poco mayor que éste), la línea discontinua muestra el radio crítico (las ecuaciones (2) y (3) representan objetos más pequeños que éste), y la línea continua es la trayectoria de la luz. El mismo artículo incluye también otras figuras que ilustran varios efectos de curvatura de la luz debidos a un objeto tan compacto.
La idea de buscar estrellas de neutrones (y otros objetos compactos) utilizando su efecto de lente gravitacional ha recibido cierta atención. La referencia 6 es un ejemplo.
Referencias:
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Lattimer y Prakash, "Neutron Star Observations: Prognosis for Equation of State Constraints", https://arxiv.org/abs/astro-ph/0612440
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Eksi, "Estrellas de neutrones: objetos compactos con gravedad relativista", https://arxiv.org/abs/1511.04305
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Lattimer, "The Nuclear Equation of State and Neutron Star Masses", https://arxiv.org/abs/1305.3510
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Li et al, "Ecuación de estado de las estrellas de neutrones: Exemplary modeling and applications", https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2214404820300355
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Kraus (1998), "Light Deflection Near Neutron Stars", https://www.spacetimetravel.org/licht/licht.html (incluye un enlace para descargar el archivo PDF)
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Dai et al, "Gravitational microlensing by neutron stars and radio pulsars", https://arxiv.org/abs/1502.02776
