Estoy luchando con el enunciado (5.2) en Cálculo II: Funtores analíticos de Goodwillie. Para un mapa $Y \to X$ de espacios y un conjunto finito no vacío $T$ Goodwillie define la "unión de fibras" $Y \ast_X T$ para ser el empuje homotópico de $Y \leftarrow Y \times T \to X \times T$ . Hay un mapa natural $Y \ast_X T \to X$ . En (5.2), Goodwillie dice que "claramente"
(5.2): Si $Y \to X$ es $(k-1)$ -conectado, entonces $Y \ast_X T \to X$ es $k$ -conectado para no vacío $T$ .
Esto no está claro para mí.
Pregunta: ¿Cómo se puede comprobar que (5.2) se cumple?
Puedo ver cómo llegar a la conclusión más débil de que $Y\ast_X T \to X$ es $(k-1)$ -conectados de la siguiente manera. Obsérvese que (5.2) equivale a decir que
(5.2, reformulado): Si $Y \to X$ es $(k-1)$ -conectado, entonces el cuadrado $$\require{AMScd} (\ast) \begin{CD} Y \times T @>>> X \times T\\ @VVV @VVV\\ Y @>>> X \end{CD}$$ es $k$ -cocartesiano.
Por lo tanto, se puede aplicar el Teorema 2.6 del mismo documento. En nuestro caso, los hechos relevantes son que:
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El mapa $X \times T \to X$ es $(-1)$ -conectado.
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El mapa $Y \to X$ es $(k-1)$ -conectado.
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La plaza $(\ast)$ es cartesiano (es decir $\infty$ -conectado).
Así que el Teorema 2.6 nos dice que el cuadrado $(\ast)$ es $n-1+ \min((-1)+(k-1), \infty)$ -conectado, con $n=2$ . Según mi aritmética, esto dice que $(\ast)$ es $(k-1)$ -cocartesiano, mientras que (5.2) es la afirmación más fuerte de que $(\ast)$ es $k$ -cocartesiano.
