Cálculo de números catalanes mediante la desigualdad de Chebyshev

Question

Utilizando la desigualdad de Chebyshev $P(|X - E[X]| \geq \varepsilon) \leq \operatorname{Var}(X)/ \varepsilon^2$ Quiero calcular la siguiente estimación para los números catalanes $C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$ :

$$C_n \geq \frac{4^{n-1}}{(n+1)(\sqrt{n} + \frac{1}{2})} \forall n \in \mathbb N.$$

La sugerencia es utilizar una variable aleatoria $X$ que se distribuye de forma binomial, de manera que hay $\frac{1}{2}$ en el lado derecho de la desigualdad de Chebyshev para $\varepsilon = \sqrt{n}$ y que $\binom{2n}{n}$ es el mayor coeficiente binomial entre $\binom{2n}{k}, k \in \{0, \ldots, 2n \}$ . Lo tengo por $X \sim \mathrm{Bin}(2n,\frac{1}{2})$ . ¿Alguien puede mostrarme cómo seguir adelante?

Answer 1

Basado en Chebyshev, deberías tener:

$$ P(|X - n| \ge \sqrt{n}) \le \frac12 $$

Tomando el complemento del evento anterior:

$$ 1 - P(n - \sqrt{n} < X < n +\sqrt{n}) \le \frac 12 $$ $$ \frac12 \le P(n - \sqrt{n} < X < n + \sqrt{n}) $$

Reescribe la probabilidad anterior en términos de una suma binomial, y únela desde arriba usando que $\binom{2n}{n}$ es el mayor contribuyente de la suma. Multiplica ambos lados por $1/(n+1)$ , reordenar y hacer un poco de álgebra fácil para obtener la desigualdad reclamada.