Ecuaciones de las ondas guiadas

Question

En la obra de Griffiths Introducción a la electrodinámica se propone que las ondas guiadas monocromáticas tengan la forma

$$\mathbf{\tilde{E}}(x,y,z,t)=\mathbf{\tilde{E}}_0(x,y)e^{i(kz-\omega t)}$$ $$\mathbf{\tilde{B}}(x,y,z,t)=\mathbf{\tilde{B}}_0(x,y)e^{i(kz-\omega t)}$$

donde

$$\mathbf{\tilde{E}}_0=E_x\mathbf{\hat{x}}+E_y\mathbf{\hat{y}}+E_z\mathbf{\hat{z}}$$ $$\mathbf{\tilde{B}}_0=B_x\mathbf{\hat{x}}+B_y\mathbf{\hat{y}}+B_z\mathbf{\hat{z}}$$

Entonces se afirma lo siguiente:

En cada denominador la expresión $(\omega /c)^2-k^2$ aparece. Pero, por lo que sé, $\omega /c=k$ Así que

$$(\omega /c)^2-k^2=k^2-k^2=0$$

¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

$\omega=kc$ para las ondas planas que sólo tienen variación espacial a lo largo de $k$ . En una guía de ondas, el campo varía también en otras direcciones y la relación es incorrecta.

Puedes pensar en un modo de guía de ondas como si estuviera compuesto por un patrón de ondas estacionarias en el plano de la guía de ondas combinado con la propagación a lo largo de la dirección normal. Si has encontrado el número de onda total $k_0$ incluyendo también estos componentes de ondas estacionarias, se obtendría el $\omega=k_0c$ relación. Dado que $k$ aquí sólo corresponde a la parte de propagación del vector de onda y no al número de onda total la relación $\omega=kc$ no se sostiene.

Answer 2

Normalmente, la gente no utiliza el símbolo $k$ en este contexto para evitar exactamente el tipo de confusión que usted tiene.

En este contexto, el símbolo escrito como $k$ en las ecuaciones de Griffiths se suele escribir $\beta$ o $k_z$ ; entonces se denomina el constante de propagación y depende de la geometría de la onda en la guía. Se encuentra a través de una ecuación de valores propios que surge de las condiciones de contorno de la guía de ondas. El espectro discreto de la ecuación de valores propios define los modos límite de la guía de ondas.

$\beta$ es siempre menor que el número de onda para el medio dentro de la guía de ondas, de modo que no se obtienen singularidades en las ecuaciones de Griffiths.

Por ejemplo, en una guía de ondas bidimensional que comprende un canal de aire (o "losa") entre dos paredes perfectamente conductoras, los modos son en realidad las superposiciones de dos ondas planas que se propagan por pares con ángulos $\pm\theta_j$ (una es la otra reflejada en las paredes de acuerdo con la ley del reflejo). Así pues, $\beta_j = k\,\cos\theta_j$ y los ángulos $\theta_j$ se definen por la condición de contorno de que la componente longitudinal del campo eléctrico debe desaparecer en las paredes en una guía de onda perfectamente conductora.