Encontrar el Rango de $f(a,b)=2a+b-3ab$

Question

Deje $a,b>0$,y tal $$a^2+b^2-ab=4$$ Encontrar el rango $$f(a,b)=2a+b-3ab$$

Trato de dejar $a=x+y,b=x-y$,luego $$a^2+b^2-ab=4\Longrightarrow x^2+3y^2=16,x>y,x>-y$$ así que Vamos a

$$\begin{align} x &=4\cos{t}, \qquad y=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin{t} \\ f(a,b) &= 2a+b-3ab \\ &= \dfrac{3x}{2}+\dfrac{y}{2}-\frac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}y^2\\ &=6\cos{t}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin{t}-12\cos^2{t}+4\sin^2{t} \end{align}$$

Luego me quedé

Answer 1

Creo que has cometido un error en sus cálculos como hice la aritmética con mi CAS. Sin embargo, si hacemos las sustituciones

$$\begin{align} a &= 2 \cos t + \frac{2}{\sqrt{3}} \sin t = \frac{4}{\sqrt{3}} \sin(t+\frac{\pi}{3}) \\ b &= 2 \cos t - \frac{2}{\sqrt{3}} \sin t = \frac{4}{\sqrt{3}} \sin(t+\frac{2\pi}{3}) \end{align}$$

a continuación, la restricción de la ecuación

$$a^2+b^2-ab=4$$

va a ser satisfecho de forma idéntica $4=4$. También, para satisfacer $a \gt 0$ $b \gt 0$ requerimos que

$$\begin{cases} 0 \lt t+\frac{\pi}{3} \lt \pi \\ 0 \lt t+\frac{2\pi}{3} \lt \pi \end{casos} \a \begin{cases} -\frac{\pi}{3} \lt t \lt \frac{2\pi}{3} \\ -\frac{2\pi}{3} \lt t \lt \frac{\pi}{3} \end{casos} \a -\frac{\pi}{3} \lt t \lt \frac{\pi}{3}$$

Así, queda a trabajar en $f(a,b)=2a+b- 3ab$. Ahora, si hacemos la sustitución en $f(a,b)$ lo vamos a conseguir

$$\begin{align}g(t) &= f(a(t),b(t)) \\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin t + 6 \cos t - 16 \cos^2 t +4 \\ \end{align}$$

Por último, podemos utilizar cualquier método de cálculo para encontrar el Máximo y el Mínimo de esta función continua en el intervalo $(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$. Por lo que el intervalo de $f(a,b)$ con las restricciones en $a$ $b$ serán obtenidos. De hecho, acabamos de reducción restringido multi-variable problema de optimización a un habitual de una sola variable problema de optimización en el cálculo.