¿Es $V_k$ un modelo transitivo de ZFC cuando $k$ es inaccesible? Sé que $V_k$ es un modelo de ZFC, pero no estoy seguro si es transitivo. Si lo es, ¿por qué?
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DanV
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Cada conjunto de la forma $V_\alpha$ es transitivo. Para demostrar esto, uno tiene que decidir qué definición de $V_\alpha$ se toma.
Si uno define primero una función de rango, y $V_\alpha$ es el conjunto de aquellos cuyo rango es estrictamente menor que $\alpha$, entonces esto es obvio, ya que $y\in x$ implica $\operatorname{rango}(y)<\operatorname{rango}(x)$, así que siempre que $y\in x\in V_\alpha$ inmediatamente tenemos $y\in V_\alpha$.
Si uno define $V_\alpha$ mediante conjuntos potencia y uniones, y luego define el rango como el menos $\alpha$ tal que $x\subseteq V_\alpha$, no es difícil demostrar las siguientes dos propiedades:
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Si $A$ es un conjunto transitivo entonces $\mathcal P(A)$ es un conjunto transitivo. Esto se sigue del hecho de que $x\in\mathcal P(A)$ y $y\in x$ entonces $x\subseteq A$ y $y\in A$, y como $A$ es transitivo $y\subseteq A$ y $y\in\mathcal P(A)$.
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Si $\{A_i\mid i\in I\}$ es una cadena creciente $\subseteq$ de conjuntos transitivos, entonces $A=\bigcup A_i$ es transitivo. Para ver que esto se cumple, toma $x\in A$ y $y\in x$ entonces $x\in A_i$ para algún $i\in I$ y así $y\in A_i$ (se asume que es transitivo), y por lo tanto $y\in A$.
Ahora aplica esto a la regla de creación de $V_\alpha$ y tenemos inmediatemente que esos conjuntos son transitivos.
Parte de tu pregunta está contestada en el siguiente hilo de MSE: Demostrando que $V_{\kappa}$ es un modelo de ZFC para $\kappa$ inaccesible.
Si $ \kappa $ es un cardinal inaccesible, entonces $ (V_{\kappa},\in|_{V_{\kappa} \times V_{\kappa}}) $ es un modelo transitivo de $ \sf ZFC $, donde $ \in $ es la relación real de pertenencia de conjuntos.
