El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo número entero $n > 1$ se puede expresar de forma única como un producto de potencias primos, es decir:
$$n = p_1^{n_1}p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}= \Pi_{i=1}^{k}p_i^{n_i}$$ Aquí, $p_1 < p_2 \cdots < p_k$ son primos, y el $n_i$ s son enteros positivos.
Ahora, al enumerar las factorizaciones primarias de $2$ números enteros arbitrarios $a$ y $b$ ( para calcular su gcd, lcm, etc ), muchos recursos en línea, incluyendo algunos libros de texto, simplemente dicen: Sea $a=p_1^{m_1} \cdots p_k^{m_k}$ y $b=p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}-\mathbf(1) $ . Mi preocupación es por qué esto se puede afirmar simplemente sin necesidad de demostrarlo ... ¿O se trata en realidad de una observación bastante trivial? Por supuesto, uno podría primero proporcionar la advertencia de que $p_i$ es el conjunto de todos los primos que dividen a $a$ o $b$ . Aun así, no estoy convencido de que la factorización en $ -\mathbf(1)$ debería ser tan intuitivo, porque, desde el TLC, sabemos que la factorización canónica de cualquier número entero debe ser única. Además, algún tipo de permutación de los factores primos entre los de $a$ y los de $b$ puede estar involucrado. Creo que primero hay que demostrar la siguiente afirmación, antes de poder validar esta afirmación:
Dejemos que $a=q_1^{e_1} \cdots q_r^{e_r}$ y $b=s_1^{f_1} \cdots s_t^{f_t}$ sean las factorizaciones primarias canónicas de $a$ y $b$ respectivamente, y cada potencia prima es un número entero postizo. Entonces, existe una secuencia estrictamente creciente de primos $(p_i)_{i=1}^{k}$ y 2 secuencias no negativas de enteros, $(m_i)_{i=1}^{k}$ y $(n_i)_{i=1}^{k}$ , tal que :
$a=p_1^{m_1} \cdots p_k^{m_k}$ y $b=p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k} $
Este es el enfoque que he adoptado :
Claramente, $a= q_1^{e_1}...q_r^{e_r}s_1^0s_2^0\cdots s_t^0$ y $b=s_1^{f_1}s_2^{f_2} \cdots s_t^{f_t}q_1^0 \cdots q_r^0$ . Por lo tanto, existe $ k \in \mathbb{Z^+}$ , $max(r,t) \leq k \leq r+t$ , de tal manera que $a=\Pi_{p=1}^{k}p_i^{m_i}$ . También, $p_i \in \{q_1, \cdots q_r, s_1, \cdots s_t\}$ es una secuencia estrictamente creciente de primos, y tenemos que $m_i \in (e_i)_{i=1}^{r}$ o $m_i =0 \ \forall \ i $ .
Del mismo modo, para $b$ tenemos que $b=\Pi_{p=1}^{k}p_i^{n_i}$ . También, $p_i \in \{q_1, \cdots q_r, s_1, \cdots s_t\}$ es una secuencia estrictamente creciente de primos, y $n_i \in (f_i)_{i=1}^{t}$ o $n_i =0 \ \forall \ i $ .
Por supuesto, esta prueba puede no ser completa. En particular, agradecería si alguien pudiera sugerir cómo mejorarla, o dar un argumento más conciso/elegante.
