Potencia Media Distribución aleatoria

Question

Estoy tratando de encontrar una la distribución para la media de la potencia de $n$ variables aleatorias en $[0,1]$ .

Tengo la media aritmética: $\frac{n}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor nx\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(nx-k)^{n-1}$

La media geométrica: $\frac{n}{(n-1)!}(-nx\log x)^{n-1}$

La media mínima: $n(1 - x)^{n-1}$

La media máxima: $nx^{n-1}$

Sin embargo, a partir de aquí se endurecen y no hay ningún patrón (o casi) todavía. Me pregunto si la distribución de una media de potencia general tiene un nombre, y quizás una fórmula cerrada.

¿Quizás puedas guiarme a alguna literatura, o conocer la forma cerrada de, por ejemplo, la distribución de variables aleatorias sobre la media armónica?

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He trazado el n=3 caso para las diferentes potencias:

Answer 1

Hay un par de maneras diferentes en las que puedes reformular tu problema y que podrían ayudarte a encontrar algún artículo sobre el tema. Así, si tiene $n$ variables uniformemente distribuidas $X_i\sim U([0,1])$ , entonces se busca la distribución de probabilidad de sus medias de potencia:

$$\mathbb{P}\left[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq x\right]$$

que es la distribución acumulativa, pero la densidad se puede encontrar tomando la derivada con respecto a $x$ . Esta distribución acumulativa puede reescribirse como

$$\mathbb{P}\left[\sum_{i=1}^n X_i^p \leq n x^p\right]$$

proporcionado $p>0$ . Pero en ese caso, lo que estamos viendo es la distribución de probabilidad acumulada de una suma de potencias de variables aleatorias i.i.d., es decir, momentos. Me sorprendería que esto no se haya abordado de alguna manera. También podrías intentar abordarlo tú mismo desde aquí. Por ejemplo, tratando de encontrar las siguientes funciones generadoras de momentos:

$$\mathbb{E}\left[e^{tX^p}\right] \; .$$

Lo bueno de las funciones generadoras de momentos (o si quieres también puedes usar funciones características) es que son las transformadas de Laplace (resp. transformadas de Fourier) de las funciones de densidad de probabilidad. Si puedes invertir la transformada, puedes encontrar una expresión explícita para estas funciones.

Dando un paso más, observe que si $Y\sim U([0,1])$ puis

$$\mathbb{P}(Y^p \leq y) = \mathbb{P}(Y \leq \sqrt[p]{y}) = \sqrt[p]{y}$$

o en otras palabras, $Y^p$ tiene densidad

$$f_{Y^p}(y) = \frac{1}{p} y^{\frac{1-p}{p}} \text{ for } y \in (0,1]$$

Entonces, tu problema es buscar la distribución de una suma de "variables aleatorias de Pareto generalizadas" i.i. Estoy tomando prestado el término desde aquí aunque no encaja en el mismo rango de parámetros del ejemplo de la wiki.