La verdad es que no sé mucho de teoría de números ni de matemáticas en general, así que perdonadme si parezco demasiado ignorante.
El Teorema Chino del Resto afirma que:
Dejemos que $n_1, n_2, ... , n_k$ sea un conjunto de números enteros mayores que $1$ y que $N = (n_1)(n_2)...(n_k)$ .
El teorema del resto chino afirma que si el $n_i$ son coprimas entre sí, y si $a_1, a_2, ..., a_k$ son números enteros tales que $0 a_i < n_i$ por cada $i$ entonces hay uno y sólo un número entero $x$ , de tal manera que $0 x < N$ y el resto de la división euclidiana de $x$ por $n_i$ es $a_i$ por cada $i$ .
Hay una prueba del teorema en Wikipedia que parece muy sencilla:
"Supongamos que $x$ y $y$ son ambas soluciones a todas las congruencias. Como $x$ y $y$ dan el mismo resto, cuando se divide por $n_i$ su diferencia $x y$ es un múltiplo de cada $n_i$ . Como el $n_i$ son coprimas entre sí, su producto $N$ divide también $x y$ y por lo tanto $x$ y $y$ son congruentes módulo $N$ . Si $x$ y $y$ deben ser no negativos y menores que $N$ (como en el primer enunciado del teorema), entonces su diferencia puede ser un múltiplo de $N$ sólo si $x = y$ ."
Entiendo las dos primeras frases. Ya que $x = X_in_i + a_i$ y $y = Y_in_i + a_i$ entonces $x - y = n_i(X_i - Y_i)$ que es un múltiplo de $n_i$ .
Sin embargo, en la siguiente frase, "Como el $n_i$ son coprimas entre sí, su producto $N$ divide también $x y$ " Me pierdo completamente.
¿Están afirmando que $N$ divide $(x - y)$ incluso cuando sabemos que $N>(x-y)$ ? ¿Y cómo es que el hecho de que el $n_i$ ¿los coprimas por pares nos ayudan a llegar a este supuesto?
¡Agradecería mucho cualquier ayuda/pensamiento!
