¿Cómo puedo demostrar que todo polinomios de grado inferior a $N$ que tienen valor $0$ en $x=1$ ¿se pueden escribir en este formulario? \begin{equation} p(x) = a_1 (x-1) + a_2 (x-1)^2 \dots + a_{N-1} (x-1)^{N-1} \end{equation} por lo que el conjunto de polinomios de la pregunta constituye un espacio vectorial de dimensión $N-1$ (las demás propiedades son evidentes)? Por supuesto $p(x)$ son polinómicas y $p(1)=0$ pero esto no responde a la pregunta.
Respuestas
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Pasos básicos:
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Demuestre que su conjunto de polinomios es un espacio vectorial mediante los axiomas
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Observe que su conjunto es estrictamente incluido en el espacio vectorial de todos los polinomios de grado máximo $N-1$ por lo que tiene una dimensión máxima de $N-1$
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Observe que $(x-1)^k$ pertenece a su conjunto para $k=1,2,\dots,N-1$ y que son linealmente independientes
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Beneficios
Dachi Imedadze
Puntos
6
Como alternativa, puede expresar $p$ explícitamente como $$p(x) = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{p^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k$$ que se puede demostrar por inducción en $N$ . Ahora bien, desde $p(0) = 0$ obtenemos $$p(x) = \sum_{k=1}^{N-1} \frac{p^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k$$ que es su forma deseada con $a_k = \frac{p^{(k)(1)}}{k!}$ .
