Estoy estudiando la topología del espacio euclidiano del libro de texto de William Wade.
He visto esta pregunta. Pero no se me ocurre ninguna idea.
Por favor, muéstrame la solución de una manera instructiva y clara.
Gracias por su ayuda.
$E$ está cerrado $\iff\partial E$ (límite del conjunto $E$ ) $\subseteq E$
Demuestra (si no lo has hecho ya) que un conjunto es cerrado $\iff E=\overline E$ .
Desde $\partial E=\overline{E}\cap\overline{E^c}\subseteq \overline E=E$ El resultado es el siguiente. Por otro lado, obsérvese (demuéstrese) que $\overline E=E\cup \partial E$ Así que si $\partial E\subseteq E$ , $E=\overline E$ Así que $E$ está cerrado.
ADD Dado un conjunto $E$ en un espacio $(X,\mathscr T)$ se puede definir el cierre de un conjunto como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen $E$ Es decir $$\overline E=\bigcap\{F\subseteq X:E\subset F\text{ and } F \text{ is closed}\}$$
Por eso solemos decir $\overline E$ es el conjunto más pequeño (con respecto a la inclusión) que contiene $E$ . Porque $\overline E$ es la intersección de conjuntos cerrados, es cerrada. Por lo tanto, si $E=\overline E$ , $E$ se ve que está cerrado. Por otro lado, si $E$ está cerrado, $E$ mismo es un conjunto cerrado que contiene $E$ Así que $\overline E\subseteq E$ . Ya que por definición, siempre tenemos $E\subseteq\overline E$ se deduce que $E=\overline E$ .
$x$ es un punto límite si todas sus vecindades intersectan a ambos $E$ y $X\setminus E$ .
Si $E$ es cerrado, su complemento $F=X\setminus E$ está abierto y cada punto $x\in F$ tiene una vecindad contenida en $F$ es decir, no hay puntos en $F$ son puntos límite de $E$ .
Al revés. Si $\partial E\subseteq E$ entonces cada punto $x\in F$ no es limítrofe, es decir, tiene una vecindad que no interseca ni $E$ o $F$ . Pero como $x\in F$ la vecindad no se cruza $E$ y por lo tanto, $F$ está abierto, $E$ está cerrado.
$\text{Useful results}:$ Sin ninguna noción de espacios métricos, la intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada a partir del hecho de que la reunión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta.
En efecto, para cualquier colección de conjuntos abiertos $\{\mathcal O_j \}_{j\in A},\:$ siempre que $\:\alpha\in \mathcal O_{j^*},\:$ un elemento de cualquier conjunto indexado de la colección arbitraria, sabemos que $\:\alpha\in\mathcal O,\:$ la unión, porque $\mathcal O_{j^*}\:$ estar abierto significa que $$\forall\alpha\in\mathcal O_{j^*}\:\exists\delta^*_{>0}\:\:\text{s.t.}\underbrace{\:(\alpha-\delta^*,\alpha+\delta^*)}_{\large \mathcal N_{\delta^*}\normalsize (\alpha)}\subset \mathcal O_{j^*}\subset \mathcal O.$$
$\implies \bigcup_{j\in A}\mathcal O_j =\mathcal O\:\:$ está abierto $\iff \bigcap_{j\in A}\mathcal O_j^c=\mathcal O^c\:\:$ está cerrado, por las leyes de De Morgan.
Otra cosa es que $\:(\partial E \cup \text{int}(E))\subset\overline E \implies\partial E\subset E.$
De hecho, si $\:\beta\in\left(\partial E \cup \text{int}(E)\right),\:$ entonces $\:\beta\in\text{int}(E)\subset E\subset \overline E\:$ o $\:\beta\in\partial E\:$ pero eso es todo ya que $\:$ $(\partial E \cap \text{int}(E))=\emptyset.$
Ahora, $\:\beta\in \partial E\implies(\forall \delta_{>0}\:\exists\mathcal N_\delta\small(\beta)\normalsize \cap E^c\neq\emptyset\:\land\: \forall \delta_{>0}\:\exists\mathcal N_\delta\small(\beta)\normalsize \cap E\neq\emptyset),\:$ que es más restrictivo que $\:\:\beta \in \overline E\implies \: (\forall \delta_{>0}\:\exists\mathcal N_\delta\small(\beta)\normalsize \cap E\neq\emptyset)$
Por eso $\:\partial E\subset \overline E$
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