Cuál es el volumen interior $S$ que es la superficie dada por el conjunto de niveles $\{ (x,y,z): x^2 + xy + y^2 + z^2 =1 \}$ ?

Question

La solución dada utiliza un argumento algebraico lineal que no parece muy instructivo -- y puede que ni siquiera sea correcto, creo.

Observamos en la ecuación, que la superficie es una forma cuadrática, conjunto de niveles = 1.

$\bullet$ La solución la reescribe como $x^TAx$ ,

$\bullet$ Encuentra una matriz simétrica $A$ que da la forma cuadrática resultante,

$\bullet$ Calcula los valores propios de $A$ ,

Y a continuación (aquí es donde la explicación no se corresponde realmente, creo)

$\bullet$ Se realiza un cambio de variables para que la superficie se convierta en un elipsoide,

$\bullet$ Finalmente, utilizando la fórmula del volumen de un elipsoide, se obtiene la respuesta final.

¿Existe otra manera / mejor de encontrar el volumen de $S$ ?

Gracias,

Answer 1

Primero mira la sección transversal elíptica en el plano xy:

$\{ (x,y): x^2 + xy + y^2 = 1 \}$

Está claro que esto es simétrico en $x$ y $y$ así que escribe

$x^2 + xy + y^2 = a(x+y)^2 + b(x-y)^2$ por lo que al igualar los coeficientes $a=\frac{3}{4}, b=\frac{1}{4}$

Por lo tanto, $\boxed{\dfrac{3}{4}(x+y)^2 + \dfrac{1}{4}(x-y)^2 = 1}$

Cambio al nuevo sistema de coordenadas: $X = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(x+y\Big), Y = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(x-y\Big)$ (donde el $\frac{1}{\sqrt{2}}$ asegurar que los nuevos ejes son de longitud unitaria), y escribir en forma estándar:

$\dfrac{X^2}{({\sqrt{\frac{2}{3}}})^2} + \dfrac{Y^2}{({\sqrt{2}})^2} = 1$ o para el conjunto de niveles $\boxed{\dfrac{X^2}{({\sqrt{\frac{2}{3}}})^2} + \dfrac{Y^2}{({\sqrt{2}})^2} + \dfrac{z^2}{1^2} = 1}$

Por lo tanto, el conjunto de niveles es un elipsoide con semiejes de longitudes $R_X = \sqrt{\frac{2}{3}}$ , $R_Y = \sqrt{2}$ y $R_Z = 1$ .

Así que el volumen es $\dfrac{4}{3}\pi \cdot R_X \cdot R_Y \cdot R_Z = \dfrac{8 \pi}{3 \sqrt{3}}$