Es una función acotada en $H^1(\Omega)$ también continua para un dominio Lipschitz $\Omega \subset \mathbb R^2$ ?

Question

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb R^2$ sea un dominio Lipschitz acotado (digamos $\Omega = (0,1)^2$ ). Sea $u \colon \Omega \longrightarrow \mathbb R$ sea una función en el espacio de Sobolev $H^1(\Omega)$ Es decir $u$ es débilmente diferenciable y $u, |\nabla u| \in L^2(\Omega)$ . Además, asuma que $0 \leq u \leq 1$ .

¿Puedo concluir que $u$ es continua?

Sé que simplemente $u \in H^1(\Omega)$ no proporciona $u \in C^0(\Omega)$ Por ejemplo $u(x) = \log \log |x|$ . Pero la continuidad sólo no se mantiene debido a la singularidad en $x = 0$ , que se elimina cuando asumo $u$ para ser acotado.

Porque la dimensión de $\Omega$ y la integrabilidad y diferenciabilidad de $H^1$ son críticos, no he podido encontrar un resultado que esté relacionado con los teoremas de incrustación.

Me gustaría que alguien aclarara mi pregunta con bibliografía, o con un contraejemplo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Contraejemplo: $f(x)=\sin^2 \log\log \frac1{|x|}\in H^1\cap L^\infty$ , $0\le f \le 1$ y no es continua en $0\in \Omega:= B_{1/2}(0)$ .

Esto se debe a que como $x\to0$ , $\log\log\frac1{|x|}\to\infty$ Así que $\sin^2\log\log\frac1{|x|}$ toma todos los valores en $[0,1]$ en cualquier barrio de $0$ .

Que $f\in H^1$ es una consecuencia del ejercicio 17 del capítulo 5 de Evans (2ª ed.), o bien calculando directamente la derivada débil; establezca $\operatorname{LL}(x)=\log\log\frac1{|x|}$ . Entonces el $\alpha$ derivada en todas partes excepto en 0, $|\alpha|=1$ es $$ g_\alpha:= 2(\sin \operatorname{LL} \cos \operatorname{LL} ) D^\alpha \operatorname{LL} \in L^2$$ y para $\phi\in C_c^\infty(\Omega)$ , $$ \int_{\epsilon<|x|<1/2} f D^\alpha \phi = \int_{|x|=\epsilon} f\phi n^\alpha d\sigma(x) -\int_{\epsilon<|x|<1/2} g_\alpha \phi$$ enviando $\epsilon\to 0$ muestra $D^\alpha f = g_\alpha$ en el sentido de las derivadas débiles.