Demuestre que si un polinomio complejo es tal que todos sus ceros tienen parte real negativa, entonces los ceros de su derivada también tienen parte real negativa.

Question

Dejemos que $P(z)$ sea un polinomio complejo cuyos ceros tienen todos una parte real negativa. Demuestre que los ceros de $P'(z)$ todos tienen parte real negativa.

He pensado en el factor $P(z)$ en factores lineales, o tal vez en la inducción. Pero parece que no puedo conseguir que funcione.

También me han sugerido que intente hacer la "derivada logarítmica" después de factorizar. Es decir, tomar la derivada de $ln(P(z))$ . Pero no me queda claro cómo ayuda esto, ya que los logaritmos sobre el plano complejo no necesariamente se "dividen" a través de la multiplicación; es decir, $Ln(zw) \neq Ln(z)+ Ln(w)$ .

Se agradece cualquier idea.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es una consecuencia directa de la Teorema de Gauss-Lucas Las raíces de $P'$ están en el casco convexo de las raíces de $P$ . El enlace de Wikipedia tiene una prueba de ello que implica la derivada logarítmica.

Answer 2

Esto se puede hacer fácilmente de forma directa: dejemos que $z_k=x_k+iy_k, x_k \le 0$ las raíces de $P$ y $z=x+iy, x>0$ (aquí podemos utilizar la desigualdad estricta/ $\le$ el otro lado también, por supuesto, para que podamos tener $x_k <0, x \ge 0$ ).

Entonces $P(z) \ne 0$ y $\Re{\frac{P'(z)}{P(z)}}=\Re{\sum{\frac{1}{z-z_k}}}=\sum{\frac{x-x_k}{|z-z_k|^2}}>0$ ya que todos los $x-x_k>0$ Por lo tanto $P'(z) \ne 0$ ¡y hemos terminado!