Actualización. He reparado el argumento. La idea era utilizar el análogo de los argumentos habituales no CA, pero utilizando un forzamiento de clase en lugar de sólo reales de Cohen.
Teorema. Cada modelo de ZFC tiene una extensión de forzamiento de clase que es un modelo de ZFC, en el que no existe un ordenamiento lineal global de clase del universo que sea definible a partir de los parámetros.
Prueba. Sea $\mathbb{P}$ ser la clase de apoyo de Easton forzando producto $\mathbb{P}=\Pi_{\gamma\text{ reg}}\text{Add}(\gamma,\gamma\cdot 2)$ que obliga a añadir $\gamma\cdot 2$ muchos subconjuntos de Cohen a cada regular incontable cardinal $\gamma$ (esto es, por supuesto, isomorfo a la adición de uno). Supongamos que $G\subset\mathbb{P}$ es $V$ -genérico, y considerar el extensión $V[G]$ . Los argumentos estándar de forzamiento muestran que $V[G]$ es un modelo de ZFC, y en particular, del axioma de elección.
Mientras tanto, afirmo que no hay una clase de ordenación lineal global de $V[G]$ que es definible en el lenguaje de la teoría de conjuntos en $V[G]$ utilizando parámetros. Supongamos que lo hubiera, y que $\psi(x,y,z)$ es una fórmula forzada por una condición $q\in G$ a definir un orden lineal cuando se utiliza con el parámetro nombrado por $\dot z$ . Sea $\gamma$ ser un cardenal regular muy por encima del soporte de $q$ y cualquiera de las condiciones que aparecen en $\dot z$ . El forzamiento en la etapa $\gamma$ ha añadido los conjuntos mutuamente genéricos $g_\alpha$ para $\alpha\lt\gamma+\gamma$ . Sea $A$ sea el conjunto de todos los $g_\alpha$ del primer bloque, es decir, para $\alpha\lt\gamma$ y que $B$ sea el conjunto de $g_\beta$ del segundo bloque, para $\gamma\leq\beta\lt\gamma+\gamma$ . Fijar la correspondiente canónica nombres $\dot A$ y $\dot B$ como se desprende de $\dot G$ . Supongamos sin pérdida de generalidad que $A$ precede a $B$ en el definible orden lineal, de modo que $\phi(A,B,z)$ tiene en $V[G]$ . Fijar una condición $p\in G$ debajo de $q$ tal que $p\Vdash\phi(\dot A,\dot B,\dot z)$ . La condición $p$ menciona menos de $\gamma$ mucho información sobre el escenario $\gamma$ forzando. Por lo tanto, detalla menos de $\gamma$ muchos bits de menos de $\gamma$ muchos conjuntos cada uno en $A$ y $B$ . Además, un argumento de densidad muestra que todo posible segmento inicial de un subconjunto de $\gamma$ se produce para $\gamma$ muchos de los conjuntos de Cohen en cada bloque. Así que cada conjunto en $A$ cuyos dígitos están parcialmente especificados por $p$ puede coincidir con un conjunto en $B$ que coincide con esos dígitos, y viceversa. Como $p$ especifica menos de $\gamma$ muchos bits, hay en $V$ un automorfismo $\pi$ del escenario $\gamma$ forzamiento que lleva a cabo una permutación de las coordenadas, llevando en conjunto todas las $\alpha$ s en el primer bloque a $\beta$ s en el segundo bloque y viceversa, de tal manera que resulta tener $\pi(p)$ y $p$ tanto en $G$ . Podemos ampliar $\pi$ a un automorfismo de $\mathbb{P}$ y considerar la transformación resultante de los nombres. Dado que $\pi$ intercambia los dos bloques en conjunto, tenemos $\dot A^\pi_G=B$ y $\dot B^\pi_G=A$ . La elección de $\gamma$ asegura que $\dot z^\pi=\dot z$ . Pero como $p\Vdash\phi(\dot A,\dot B,\dot z)$ también tenemos $\pi(p)\Vdash\phi(\dot A^\pi,\dot B^\pi,\dot z^\pi)$ y como $\pi(p)\in G$ Esto significa que $\phi(B,A,z)$ en $V[G]$ lo que significa que $B$ precede a $A$ en el orden lineal, una contradicción. QED
Este argumento se puede utilizar para demostrar, como menciona Ali en su respuesta, que puede haber una clase definible de pares, que no tienen función de elección. En concreto, consideremos todos los conjuntos de pares, que incluirían los pares de la forma $\{A,B\}$ como los denoto en la prueba. Si pudiéramos seleccionar definitivamente uno u otro, entonces fijaríamos una condición $p$ forzando la selección de uno de ellos, y luego encontrar un automorfismo $\pi$ que intercambia los dos elementos del par, mientras que tiene $\pi(p)$ todavía en $G$ . Por lo tanto, el otro conjunto también debe ser seleccionado, una contradicción.
Corolario. Todo modelo de teoría de conjuntos tiene una extensión de forzamiento de clase con una clase definible de pares desordenados, tal que ninguna clase definible (con parámetros) selecciona exactamente un conjunto de cada uno de esos pares.
