Derivada de un factorial

Question

¿Cuál es ${\partial\over \partial x_i}(x_i !)$ donde $x_i$ es una variable discreta?

¿Consideras $(x_i!)=(x_i)(x_i-1)...1$ y aplicas la regla del producto en cada término, o algo diferente? Gracias.

Answer 1

La derivada de una función de una variable discreta no tiene mucho sentido en el típico marco del cálculo. Sin embargo, hay una variante continua de la función factorial llamada la función Gamma, para la cual se pueden tomar derivadas y evaluar la derivada en valores enteros.

En particular, dado que $n!=\Gamma(n+1)$, existe una fórmula interesante para $\Gamma^\prime$ en valores enteros: $$ \Gamma^\prime(n+1)=n!\left(-\gamma+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right) $$ donde $\gamma$ es la constante Euler-Mascheroni.

Answer 2

Como se ha mencionado, la función Gamma $\Gamma(x)$ es la mejor opción.

La integración por partes produce $$ \begin{align} \Gamma(x) &=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,\mathrm{d}t\\ &=(x-1)\int_0^\infty e^{-t}t^{x-2}\,\mathrm{d}t\\ &=(x-1)\Gamma(x-1) \end{align} $$ Tomando la derivada del logaritmo de $\Gamma(x)$ obtenemos $$ \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=\frac1{x-1}+\frac{\Gamma'(x-1)}{\Gamma(x-1)} $$ Debido a que $\Gamma(x)$ es log-convexa y $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}-\log(x)=0 $$ obtenemos que $$ \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+x-1}\right) $$ Para números enteros $n$, $n!=\Gamma(n+1)$, por lo que la derivada es $$ \begin{align} \Gamma'(n+1) &=\Gamma(n+1)\left(-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\frac{n}{k(k+n)}\right)\\ &=n!(-\gamma+H_n) \end{align} $$ donde $H_n$ es el $n^\text{th}$ Número Armónico (con la convención de que $H_0=0$).

Answer 3

$x!$ suele definirse solo para números enteros no negativos $x$. Sin embargo, hay una extensión a números no enteros, dada por la función Gamma: $x!=\Gamma(x+1)$ y la derivada de esto es $\Psi(x+1) \Gamma(x+1)$ donde $\Psi$ es la función Digamma. Los valores de esta derivada en $x=0,1,\ldots,10$ son $-\gamma,1-\gamma,3-2\,\gamma,11-6\,\gamma,50-24\,\gamma,274-120\, \gamma,1764-720\,\gamma,13068-5040\,\gamma,109584-40320\,\gamma, 1026576-362880\,\gamma,10628640-3628800\,\gamma$ donde $\gamma$ es la constante de Euler.

Answer 4

Comenzar desde

$$x!=x(x-1)!$$ $$x!'=x(x-1)!'+(x-1)!$$

Entonces estamos buscando una función que satisfaga

$$f(x)=xf(x-1)+(x-1)!$$

Reemplazando tenemos

$$f(x)=x((x-1)f(x-2)+(x-2)!)+(x-1)!$$

Nuevamente

$$f(x)=x((x-1)((x-2)f(x-3)+(x-3)!)+(x-2)!)+(x-1)!$$

Observa que en esta etapa tenemos

$$f(x)=x(x-1)(x-2)f(x-3)+x(x-1)(x-3)!+x(x-2)!+(x-1)!$$

Por lo tanto, podemos extender

$$f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-(k-1))f(x-k)+$$ $$x(x-1)...(x-(k-2))(x-k)!+...+x(x-1)(x-3)!+$$ $$x(x-2)!+(x-1)!$$

o

$$f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-(k-1))f(x-k)+\sum_{m=x}^{x-(k-1)}\frac{x!}{m}$$

Tomando $k=x$ y $x$ entero tenemos

$$f(x)=x!f(0)+\sum_{m=x}^{1}\frac{x!}{m}$$

o

$$f(x)=x!(f(0)+\sum_{m=1}^{x}\frac{1}{m})$$

Observa que esto debe ser completamente válido sin importar qué extensión del factorial tomemos. Y podríamos detenernos aquí esencialmente.

Sin embargo, puesto que podemos, todo esto ahora se reduce a definir $f(0)$ que es $0!'$, la primera derivada del factorial en $0$.

¿Cuál es el valor de $0!'$?

Bueno, $f(0)$ es una constante, por lo que no hay problema en reemplazarlo con $f(0)=-\gamma+c$. (Usamos $\gamma$ para poder argumentar sobre la evaluación asintótica, ya que claramente se necesita alcanzar $\ln(x)$)

$$f(x)=x!(-\gamma+c+\sum_{m=1}^{x}\frac{1}{m})$$

Asintóticamente entonces

$$f(x) \sim x!(\ln(x)+c)$$

Ahora

$$\ln(x!)'=\frac{1}{x!}x!' \sim \frac{1}{x!}x!(\ln(x)+c)=\ln(x)+c$$

Aún en lo más simple

$$\ln(x!)' \approx \frac{\ln(x!)-\ln((x-1)!)}{1}=\ln(x)$$

lo que significa que no hay problema en tomar $c=0$, aunque podría ser cualquier otro valor. (Solo estamos intentando dar cierta interpretación para tener $c=0$. En las notas hay más sobre esto.)

Eso hace que:

$$x!'=x!(-\gamma+\sum_{m=1}^{x}\frac{1}{m})$$

o

$$n!'=n!(H_n-\gamma)$$

escrito brevemente como

$$\ln(n!)'= H_n-\gamma$$

(Por supuesto, esta es solo una de las posibilidades que coincide con la extensión estándar de la función factorial Gamma también. Explicamos más adelante otras implicaciones de tomar $c=0$ y cómo la solución podría no corresponder en absoluto a la función Gamma estándar.)

Notas

Para concluir todo esto, si requerimos que $x!=x(x-1)!$, entonces cualquier otra posible extensión de la función factorial tiene una forma $x!=g(x)\Gamma(x+1)$ donde $g(x+1)=g(x)$, lo que significa que el multiplicador adicional es una función periódica cualquiera con periodo $1$.

Esto revela el formato de todos los posibles valores para $c$ sin importar la extensión que tengamos.

$$f(0)=-\gamma g(0)+ g'(0)$$

Entonces, si para una función periódica en enteros $g(n)=1$ y $g'(n)=0$, esa es nuestra elección. La más simple posible, ya que queremos tener naturalmente $1!=1$, por ejemplo, lo que deja:

$$f(0)=-\gamma + g'(0)$$

lo que hace que $c=g'(0)$.

No podemos decir nada sobre la derivada en enteros $g'(n)$ sin algún requisito adicional. Lo hemos elegido como $0$.

Sin embargo, un argumento adicional es que asintóticamente no es posible tener ningún otro valor constante para $c$, ya que no es difícil encontrar que $\ln(n!) = n\ln n - n +O(\ln(n))$ y la integral de $\ln(n)+c$ agregaría un término lineal más allá de $-n$.

Esta argumentación requiere que una extensión del factorial, al no haber otra forma de definir la primera derivada, se ajuste a sus propiedades asintóticas incluso localmente. Otras versiones de factorial extendido podrían no cumplir con este requisito.

Este requisito está en línea con la llamada función logarítmicamente convexa que se cumple para cualquier $x,y$

$$\ln f(x) \geq \ln f(y) + \frac{f'(y)}{f(y)}(x - y)$$

lo que significa

$$\ln((n+1)!) \geq \ln(n!) + \frac{n!'}{n!}((n+1) - 1)$$ $$\ln(n+1) \geq \ln(n)+c$$

y esto requiere asintóticamente que $c=0$. Por lo tanto, podríamos decir que $c$ es igual a $0$, si nuestra elección de una extensión para el factorial es al menos (asintóticamente, es decir, para enteros lo suficientemente grandes) logarítmicamente convexa, aunque logarítmicamente convexa no se define de manera útil solo para enteros, ya que es una propiedad global.

Sin embargo, $0!'=-\gamma$ no necesariamente define una función Gamma clásica ni es un requisito para tener una solución. Para el factorial de enteros, cualquier valor de $0!'$ serviría. Solo estamos tratando de conectar puntos un poco más en profundidad.

Ahora que estamos aquí, no es difícil establecer para cualquier extensión del factorial una conexión ilustrativa:

$$\ln(x!)'=H_{[x]}-\ln(\{x\}!)+0!'$$ donde $[x]$ es entero y $\{x\}$ la parte fraccional de $x=[x]+\{x\},0\leq\{x\}<1$.

(Todo esto es mucho más interesante de lo que puede parecer al principio. Al elegir una función periódica

$$g(x)=\frac{1}{\Gamma(\{x\}+1)}$$

obtenemos esto como una posible extensión del factorial

$$x!=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(\{x\}+1)}$$

y eso es una versión "lineal" de $x!$ para $x \geq 0$. Esta es probablemente la extensión más directa del factorial entero que se pueda imaginar. Es una extensión completamente aceptable.)

Answer 5

Probablemente sea mejor usar una continuación analítica de la función factorial, en lugar del propio factorial. Considera la función gamma:

$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

Obviamente, $\Gamma(1) = 1$, y también tenemos:

$$\begin{align} \Gamma(x+1) &= \int_{0}^{\infty}t^{x} e^{-t}dt\\ &=[-t^{x}e^{-t}]_{0}^{\infty} + x\int^{\infty}_{0}t^{x-1}e^{-t}dt\\ &=x\Gamma(x). \end{align}$$

Entonces, $\Gamma(x) = (x-1)!$. Así que ahora simplemente toma derivadas libremente.