Sobre una colección de mapas lineales $L=\bigcup_{i=1}^\infty X_i$

Question

Hace poco pregunté: Sobre esta transformación y quería seguir con otra pregunta relacionada:

Considere una colección de mapas lineales $L=\bigcup_{i=1}^\infty X_i.$ Donde $X_1=\big\{(x,y)\mapsto\big(ax,\frac{y}{a^1}\big)\big\}.$ $X_1$ se llama "squeeze mapping" para el parámetro $a.$ No conozco ningún nombre para $X_2$ y otros. La colección de mapeos de apriete forma un grupo de un parámetro isomorfo al grupo multiplicativo de los números reales positivos.

¿La colección de mapas lineales $L$ forman una estructura algebraica, como un $R-$ ¿módulo o espacio vectorial?

Creo que para cada $X_i$ podemos reunir los mapeos para formar un grupo de un parámetro. Eso significaría $L$ es una colección de grupos de un parámetro. Entonces podría combinar estos grupos con una operación.

La colección de todos los $X_1$ forma un grupo de un parámetro. ¿Son la colección de $X_i$ ¿son todos isomorfos entre sí?

Relacionado con esto: teoría de grupos de mapeo de apriete .

Answer 1

Para la primera pregunta: Aunque cada conjunto $X_i$ es cerrado bajo composición, toda la colección $L$ no está cerrado. Por lo tanto, no existe una estructura de grupo. Como $R$ -son grupos abelianos, vemos que $L$ no es un $R$ -para cualquier anillo $R$ .

(Estoy asumiendo que la operación que está considerando es la composición. Sin embargo, $L$ tampoco es cerrado bajo adición puntual, que es la otra operación obvia: si sumamos puntualmente $(x, y)\mapsto (2x, \frac{y}2)$ y $(x, y)\mapsto (2x, \frac{y}4)$ entonces obtenemos $(x, y)\mapsto (4x, \frac{3y}2)$ que no está en $L$ .)

---

Para la segunda pregunta: Sí, el $X_i$ bajo composición (y con $a\neq0$ ) son todos isomorfos como grupos a $(\mathbb{R}\setminus\{0\}, *)$ y, por tanto, son isomorfas entre sí. El mapa obvio, el definido por $\phi_i:a\mapsto \left((x, y)\mapsto(ax, \frac{y}{a^i})\right)$ funciona. Debe quedar claro que es una biyección, mientras que es un homomorfismo como: \begin{align*} \phi_i(a)\phi_i(b) &=\left((x, y)\mapsto(ax, \frac{y}{a^i})\right)\circ\left((x, y)\mapsto(bx, \frac{y}{b^i})\right)\\ &=\left((x, y)\mapsto(a(bx), \frac{y/b^i}{a^i})\right)\\ &=\left((x, y)\mapsto((ab)x, \frac{y}{(ab)^i})\right)\\ &=\phi_i(ab) \end{align*}