Si $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ son diferenciables, $|f_n'(x)|\leq C$ para todos $n\in\mathbb{N}$ y $x\in [0,1]$ , $f_n\to f$ de manera uniforme, $f_n'(x)\to g(x)$ en el sentido de la palabra y $f$ es diferenciable, podemos concluir que $f'=g$ ? De forma equivalente, ¿podemos concluir que $$ \lim_{n\to \infty}\lim_{h\to 0}\frac{f_n(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\lim_{n\to \infty}\frac{f_n(x+h)-f(x)}{h} $$ teniendo en cuenta los supuestos anteriores? Mi opinión es que no, pero no estoy seguro de que haya un contraejemplo.
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Moudiz
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No. Para un contraejemplo sobre el conjunto $\Bbb R$ (pero la diferencia no es esencial), considere el $C^\infty$ bump $$\Phi(x)=\begin{cases}\exp\frac1{x^2-1}&\text{if }-1<x<1\\ 0&\text{if }x\le-1\lor x\ge 1\end{cases}$$ y $g_n(x)=\Phi(nx)$ , $f_n(x)=\int_{-\infty}^x g_n(y)\,dy$ . Entonces: $$\begin{align} \lvert g_n(x)\rvert&\le \max_{x\in[-1,1]}\lvert\Phi(x)\rvert\\ g_n(x)&\to \begin{cases}\Phi(0)&\text{if }x=0\\ 0&\text{if }x\ne 0\end{cases}&\text{ pointwise}\\ f_n(x)&\to 0&\text{ uniformly}\end{align}$$
porque $$\left\lvert\int_{-\infty}^x g_n(y)\,dy\right\rvert\le \int_{-\infty}^x\lvert \Phi(ny)\rvert\,dy= \frac1n\int_{-\infty}^{nx}\Phi(y)\,dy\le \frac1n\int_{-\infty}^\infty\Phi(y)\,dy$$ Está claro que el límite de $g_n$ no es el derivado de nada porque no tiene el PIV.
