Dejemos que $E=\{x=(x_n)\in \ell^\infty(\Bbb N): (x_n)~~\text{is periodic}\}$
Definición: $x=(x_n)$ es periódico significa que existe $p\in \Bbb N$ tal que, $x_{n+p} =x_n ~~~\forall ~~n\in\Bbb N.$
definimos en $E$ la distancia $$d(x,y) =\|x-y\|_\infty$$
Demostrar que $(E,d)$ no está completo. No sé cómo probar esto. Gracias por la ayuda
Definamos una secuencia $x^i=(x_n^i)_{i,n\in\omega}$ que es Cauchy pero no convergente (perdón por la engorrosa notación).
Hemos establecido $x^0$ como la secuencia idéntica $0$ Así que $x_n^0=0$ para todos $n$ . Entonces, dejemos que $x^1$ sea la secuencia tal que $x_{2n}^1=0$ y $x_{2n+1}^1=1$ (de modo que obtenemos la secuencia $(0,1,0,1,\dots)$ ). Como $x^2$ , establecemos la secuencia tal que $x^2_{2n+1}=1$ , $x^2_{4n}=1/2$ y tiene $0$ en las posiciones restantes (esta es la secuencia $(0,1,1/2,1,0,1,\dots))$ . Seguimos así: la secuencia $x^{j+1}$ coincide con $x^j$ en todas las posiciones excepto las que son divisibles por $2^{j+1}$ a los que se les asigna un valor $1/2^{j}$ . Esta secuencia es Cauchy, ya que $d(x^j,x^k)$ , para $j<k$ es $2^{-k}$ . Pero el límite de la secuencia no es periódico, ya que tiene $0$ sólo en su primera posición.
Considere el mapa $T:E\to E$ tal que para $x= (x_n)_n$ tenemos $$Tx= \left(0,\frac{x_0 +1}{2},0,\frac{x_1 +1}{2},0,\frac{x_2 +1}{2}, \cdots\right) $$
Es decir $(Tx)_{2n} =0$ y $(Tx)_{2n +1} =\frac{x_n +1}{2}$ . Evidentemente, para $x,y\in E$ que tenemos, $$\|T(x-y)\|_\infty \le\frac{1}{2}\|x-y\|_\infty$$
Es decir, T es una contracción ya que E es completa, entonces cualquier contracción en $E$ debe tener un punto fijo. Sea $u\in E$ tal que $$u =Tu = \left(0,\frac{u_0 +1}{2},0,\frac{u_1 +1}{2},0,\frac{u_2 +1}{2}, \cdots\right) $$
Por lo tanto, $$\begin{cases}u_{2n} = 0\\ u_{2n+1} =\frac{u_n+1}{2}\end{cases}$$
la relación $u_{2n+1} =\frac{u_n+1}{2}$ con $u_1 =\frac{u_0+1}{2}=\frac{1}{2}$ muestra claramente que $(u_n)_n$ no es periódico. De hecho,
$$ u_3 =\frac{u_2+1}{2} =\frac{1}{2}, u_7=\frac{u_3+1}{2} =\frac{\frac12+1}{2} = \frac34,$$$$ u_{15}=\frac{{7+1}{2} =\frac{{34+1}{2} = \frac78, u_{31}=\frac{u_{15}+1}{2} =\frac{frac78+1}{2} = \frac{15}{16}{cdots$$
Con una investigación más profunda se vislumbra que si ponemos $a_n =u_{4n-1}$ entonces $$a_{n+1} =\frac{a_n +1}{2}~~~\text{which is not periodic}$$
Entonces, $u\not\in E$ . Conclusión T no tiene ningún punto fijo en $E$ Por lo tanto, E no está completo.
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