Producto cartesiano de espacios de funciones de prueba

Question

Mini introducción

Supongamos que $U \subset \mathbb R^n, V \subset \mathbb R^m$ son dos conjuntos abiertos. Si tomamos http://en.wikipedia.org/wiki/Distributions\_space#Test\_function\_space">funciones de prueba $f_i \in \mathfrak D (U),~g_i \in \mathfrak D (V)$ pour $1 \leq i \leq n$ entonces $f_1(x)g_1(y) + \dots + f_n(x)g_n(y)$ es un elemento de $\mathfrak D (U \times V)$ , por lo que tenemos una inclusión: $$\operatorname{span}\left(\mathfrak D (U) \times \mathfrak D (U) \right) \subset \mathfrak D (U \times V)$$ donde "span" significa tramo lineal.

Pregunta

¿Es cierto que $$\overline{\operatorname{span}\left(\mathfrak D (U) \times \mathfrak D (U) \right)} = \mathfrak D (U \times V)$$ donde línea significa el cierre en topología de $\mathfrak D (U \times V)$ ?

Answer 1

Esto es cierto.

Mediante una partición de la unidad, la prueba puede reducirse al caso en que las funciones de prueba tienen sus soportes en un cubo unitario y el resultado se desprende de una manipulación más o menos sencilla con la serie de Fourier correspondiente.

Véase, por ejemplo, el teorema 4.3.1 en "Introducción a la teoría de las distribuciones" de Friedlander y Joshi (или задачи 423 и 430 в книге Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. "Teoremas y problemas del análisis funcional" ).