Álgebra moderna avanzada, Ex 6.25

Question

Llevo un tiempo (por lo menos una semana) intentando resolver esto. El conjunto de problemas ya fue entregado, pero todavía estoy tratando de entender esto ya que no fui capaz de responder a esto antes de entregarlo. Realmente quiero entender esto mejor. El problema es el siguiente.

Dejemos que $0\to A\to B\to C\to 0$ sea una secuencia exacta corta de Módulos. Si $M$ es un módulo cualquiera, demuestre que existen secuencias exactas.

$0\to A\oplus M\to B\oplus M\to C\to 0$

y

$0\to A\to B\oplus M\to C\oplus M\to 0$ .

Answer 1

Dejemos que $f:A\to B$ y $g:B\to C$ sean los mapas en su secuencia exacta anterior. Entonces dejemos que $\hat{f}:A\to B\oplus M$ se dará mediante el envío de $a$ a $(f(a),0)$ y $\hat{g}:B\oplus M \to C\oplus M$ enviar $(b,m)$ a $(g(b),m)$ . Ahora le dejaré que demuestre que $0\to A\to B\oplus M\to C\oplus M\to 0$ es exacta.

El otro problema es similar, así que también te lo dejaré, pero por favor comenta si te atascas.

Answer 2

Supongamos que

$$0\rightarrow A\stackrel{f}\rightarrow B\stackrel{g}\rightarrow C\rightarrow 0$$

es exacta, y dejemos que

$$0\rightarrow A\oplus M\stackrel{f\oplus i}\rightarrow B\oplus M\stackrel{\overline g}\rightarrow C\rightarrow 0$$

con

$$f\oplus i(a,m):=(f(a),m)\;\;,\;\;\overline g(b,m):=g(b)$$

entonces

$$\overline g\circ f(a,m)=\overline g(f(a),m):=gf(a)=0\Longrightarrow \operatorname {Im}f\subset \ker g$$

$$\overline g(b,m)=g(b)=0\Longrightarrow b\in\ker g=\operatorname {im}f\Longrightarrow \text{there exists}\;\; a\in A\,\,\text{s.t.}\,\,f(a)=b$$

$$\Longrightarrow (b,m)=(f(a),m)=f\oplus i(a,m)\Longrightarrow \ker g\subset\operatorname{Im}f$$

Depuis $\,f\oplus i\,$ es claramente $\,1-1\,$ y $\,\overline g\,$ es claramente sobre, hemos terminado.

Answer 3

@ Brett Frankel Querías escribir $\hat g: B\oplus M \to C $ definido como $(b,m)\mapsto g(b)$ y no $(b,m)\mapsto (g(b), m)$ . Quería escribir esto como un comentario. Lo siento, lo estoy publicando como una respuesta. ¿Puede alguien decirme cómo puedo escribir un comentario?