Demuestre que un espacio de Banach $E$ es reflexivo $\iff$ para todo subespacio cerrado $F$ de $E$ tenemos $F^{\perp \perp} = J(F)$

Question

El problema: Dejemos que $E$ sea un espacio normado sobre $\mathbb{C}$ .

1. Demostrar que somos capaces de incrustar $E$ en el segundo espacio dual (bidual) $E''$ de $E$ por una isometría lineal, es decir, podemos considerar $E$ como un subespacio de $E''$ .
2. Para cada subconjunto $A$ de $E$ , dejemos que $A^{\perp} = \{f \in E' : f|_A = 0\}$ . Demuestre que un espacio de Banach $E$ es reflexivo $\iff$ para todo subespacio cerrado $F$ de $E$ tenemos $F^{\perp \perp} = J(F)$ en el que $J$ es una incrustación canónica $E$ en $E'$ .

Mi intento:

1. Dejemos que $E$ sea un espacio normado. Para cada $x \in E$ , dejemos que $(Jx)(u) = u(x)$ para todos $u \in E'$ .

Demostramos que $J: E \rightarrow E''$ es una isometría lineal. Claramente, $Jx$ es una forma lineal en $E'$ . Desde $(Jx)(u) = |u(x)| \le ||u||$ $||x|| $ , $Jx$ es continua en $E'$ y $||Jx|| \le ||x||$ . Por lo tanto, $Jx \in E''$ . Es rutinario demostrar que $J$ es un mapa lineal desde $E$ en $E''$ . Tome cualquier $x \in E$ . Hay $v \in E'$ tal que $||v|| = 1$ y $v(x) = ||x||$ . Por lo tanto, $$||Jx|| = \sup\{|(Jx)(u)|:||u|| \le 1\}$$ $$= \sup\{|u(x)|: u \in E', ||u|| \le 1\} \ge v(x) = ||x||.$$ Por lo tanto, $J$ es una isometría lineal. Alguien puede ayudarme a resolver la pregunta número $2$ ? Gracias a todos.

Answer 1

La implicación $\Leftarrow$ dirección es muy simple. Ya que $E^{\perp\perp}=E^{\prime\prime}$ se deduce de $E^{\perp\perp}=J(E)$ que $J$ es suryente.

Para la implicación inversa, dejemos que $F$ sea un subespacio cerrado de $E$ . Si $\phi\in E^\perp$ entonces $0=\phi(x)=Jx(\phi)$ para todos $x\in F$ . Así, $J(F)\subset F^{\perp\perp}$ (esta inclusión no requiere reflexividad ni cerrazón). Por otro lado, dejemos que $\psi\in F^{\perp\perp}$ . Por supuesto, existe $y\in E$ tal que $Jy=\psi$ . Entonces $0=\psi(u)=u(y)$ para todos $u\in F^\perp$ . Del teorema de Hahn-Banach se deduce que $y\in F$ (aquí se necesita el cierre de $F$ ).