Qué $f_{n}(x)=n\cos^n x \sin x$ uniformemente convergen $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$?

Question

Quiero comprobar si la siguiente función es uniformemente converge: $f_n(x)=n\cos^nx\sin x$ $x \in \left[0,\frac{\pi}{2} \right]$.

He demostrado que el $\lim \limits_{n \to \infty}f_{n}(x)=0$ por cada $x$. Me encantaría que me ayudases con el uniforme continúa convergencia. Siempre me confundo con ella. Yo ya demostró que la $|f_n(x) - 0|< \epsilon$. ¿Qué más debo mostrar o ¿cómo debo refutar la reclamación?

Muchas gracias.

Answer 1

Se utiliza la siguiente afirmación:

Deje $a,b$ dos números reales y $\{f_n\}$ una secuencia de funciones continuas en $\left[a,b\right]$ que converge uniformemente a$f$$[a,b]$. Entonces $$\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(t)dt=\int_a^bf(t)dt.$$

De hecho, hemos $$\left|\int_a^bf_n(t)dt-\int_a^bf(t)dt\right|\leq (b-a)\sup_{a\leq x\leq b}|f_n(x)-f(x)|,$$ que converge a $0$ gracias a la convergencia uniforme en $[a,b]$.

En nuestro caso, hemos $$\int_0^{\frac{\pi}2}f_n(x)dx=n\left[-\frac{(\cos x)^{n+1}}{n+1}\right]_0^{\frac \pi 2}=\frac n{n+1}\to 1,$$ mientras que $f_n$ converge pointwise a $0$. Esto muestra que la convergencia no puede ser uniforme.

Answer 2

Deje $x_n=\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$. A continuación,$\sin(x_n)=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$\cos(x_n)=\frac{1}{\sqrt{1+1/n}}$.

Por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{f_n(x_n)}{\sqrt{n}} &=\lim_{n\to\infty}\frac{n\;\cos^n(x_n)\sin(x_n)}{\sqrt{n}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+1/n)^{n/2}}\sqrt{\frac{n}{n+1}}\\ &=e^{-1/2}\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ f_n(x_n)\sim e^{-1/2}\sqrt{n}\etiqueta{2} $$ La asintótica de crecimiento en $(2)$ dice que, a pesar de $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$ pointwise, $f_n(x)$ no converge uniformemente a$0$$[0,\frac{\pi}{2}]$, ya que siempre hay un $x$, de modo que $f_n(x)>1$.

Answer 3

Usted podría simplificar primera (de lo contrario el argumento es el de la robjohn):

Poner $t=\cos(x)$ ($0\le t\le1$), a continuación, veremos $$g(t)= n t^n\sqrt{1-t^2}$$ o, mejor aún, se puede considerar la $h(t) = g(t)^2= n^2 t^{2n}(1-t^2)$. Entonces $$h'(t)= 2n^3t^{2n-1}(1-t^2)-2n^2t^{2n+1}=2n^2t^{2n-1}(n-(n+1)t^2).$$ Nota de esto que $t_n=\sqrt{\frac{n}{n+1}}$ es el máximo de $h$, y que $$h(t_n)=n^2\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \left(1-\frac{n}{n+1}\right)= n\cdot\frac{1}{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}\cdot \frac{n}{n+1}\sim n\cdot\frac{1}{e}\cdot 1 \qquad \text{as $n\to\infty$}$$ Lo que debería haber sido $0$ si el límite era uniforme.