Inyectabilidad y subjetividad de la función de composición

Question

La pregunta es:

Dejemos que $g : A \to B$ y $f : B \to C$ sean dos funciones.

Demuestre que si $f \circ g$ es una biyección, entonces $f$ es una suryección y $g$ es una inyección

Sé cómo probar si se da que o $f$ o $g$ es inyectiva o sobreyectiva, pero no estoy muy seguro de cómo enfocar esta pregunta ya que está pidiendo ambas cosas.

Además, ¿cómo puedo demostrar que $f \circ g$ es una biyección?

Answer 1

Utilice el hecho de que $f\circ g$ es una suryección para demostrar que $f$ también es una suryección. Como una gran pista: $(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).$

Utilice el hecho de que $f\circ g$ es una inyección para demostrar que $g$ también es una inyección. Como una gran pista: $(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)$ y $(f\circ g)(y)=f\bigl(g(y)\bigr).$

Answer 2

En primer lugar, observamos que $f \circ g$ será un mapa $A \to C$ . Si asumimos que $f \circ g$ es biyectiva, tenemos automáticamente las dos observaciones siguientes:

1. Subjetividad para cada $c \in C$ existe $a \in A$ tal que $(f \circ g)(a) = c$ .
2. Inyectabilidad : si $(f \circ g)(a) = (f \circ g)(a^\prime)$ , entonces debemos tener $a = a^\prime$ .

A partir de aquí, todo lo que se necesita son las dos propiedades anteriores. Escribiré la parte de la inyectividad y te dejaré la parte subjetiva.

Para comprobar que $g$ es inyectiva, procedemos directamente utilizando la definición. Supongamos que $g(a) = g(a^\prime)$ para dos $a,a^\prime \in A$ . Aplicando $f$ a ambos lados de esta ecuación, encontramos que $$ (f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(g(a^\prime)) = (f \circ g)(a^\prime) $$ de donde debemos tener $a = a^\prime$ (¿por qué? ¿qué propiedad se utiliza aquí?). Utilizando 1. de forma similar, podemos demostrar que $f$ debe ser también suryectiva.

Además, la hipótesis es que $f \circ g$ es biyectiva. En consecuencia, se hace no necesitan demostrar que $f \circ g$ ¡es biyectiva ya que esta propiedad está dada!

Answer 3

Sugerencia :

Demuestre estas afirmaciones más generales:

1. Si $f\circ g$ es inyectiva, entonces $g$ es inyectiva (por contraposición).
2. Si $f\circ g$ es suryente, entonces $f$ es suryente (obsérvese que $(f\circ g)(A)\subset g(B)$ ).