El cuadrado de cualquier entero impar es impar.

Question

Supongamos que $n$ es un número entero impar. Entonces $n = 2k + 1$ para algún número entero $k$ .

Por lo tanto, $n^2=(2k+1)(2k+1)=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ .

Desde $k$ es un número entero, $2k^2 + 2k$ es un número entero. Así, $n^2 = 2k' + 1$ para algún número entero $k'$ .

Por lo tanto, $n^2$ es impar.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Se puede escribir de forma más general que el producto de 2 enteros impar es impar

dejar $a = 2k+1$ y $b = 2p+1$

entonces $ab = (2k+1)(2p+1) = 2(2kp+k+p)+1 $ que es el formato general de los números impar

Answer 2

Es correcto, pero yo iría por un camino ligeramente diferente. Después de probar que $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$ Yo diría que $4k^2 + 4k$ es par, ya que $$\frac{4k^2 + 4k}{4} = k^2 + k$$ (incluso podemos decir que $4k^2 + 4k$ es doblemente par). Y cuando se añade $1$ a un número par, se obtiene un número impar.

Answer 3

Utilizar la aritmética modular :

$$n\equiv1\mod2\implies n^2\equiv1\mod2$$ porque $n^2\bmod2=(n\bmod2)^2$ y $1^2=1$ .

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Incluso puede manejar el caso de incluso e impar al mismo tiempo con

$$n\bmod2=(n\bmod2)^2=n^2\bmod2$$ porque $0^2=0$ y $1^2=1$ .