¿El isomorfismo es inducido por mapas suryectos?

Question

Dados los anillos A y B y los mapas suryentes $\phi: A \to B$ y $\psi: B \to A$ ¿son A y B siempre isomorfos?

Answer 1

No, considera $A=\Bbb Z^{\Bbb N}\times (\Bbb Z/2\Bbb Z)$ y $B=\Bbb Z^{\Bbb N}$ con mapas $\psi(x_0,x_1,x_2\cdots)=(x_1,x_2,\cdots; x_0+2\Bbb Z)$ y $\phi(y_0,y_1,y_2,\cdots; c+2\Bbb Z)=(y_0,y_1,y_2,\cdots)$ .

Answer 2

No. Podemos tomar $A = k[ \{ x_i : i \in \mathbb{N} \} ]$ es el anillo de polinomios en un número contable de variables, y $B = A \otimes_k k[\varepsilon]/\varepsilon^2$ para ser $A$ junto con un nilpotente. Hay un mapa cociente $A \twoheadrightarrow B$ dado enviando, por ejemplo, $x_1$ a $\varepsilon$ y $x_i$ a $x_{i-1}$ y también un mapa cociente $B \twoheadrightarrow A$ dado por el envío de $\varepsilon$ a $0$ . Pero $B$ tiene un nilpotente y $A$ no lo hace.

No sé qué pasa si requieres $A$ y $B$ para ser, por ejemplo, noetheriano. Hay un contraejemplo noetheriano para la pregunta análoga sobre las inyecciones: $A = \mathbb{C}$ y $B = \mathbb{C}[x]$ ambos se inyectan mutuamente pero no son isomorfos (la inyección $B \hookrightarrow A$ es mucho menos constructivo y se basa en la existencia de un isomorfismo $\overline{\mathbb{C}[x]} \cong \mathbb{C}$ ).