Utilizando la propiedad de Arquímedes para demostrar lo siguiente

Question

Así que he trabajado con algunas de las propiedades de Archimedas. Es decir, entiendo que para cada número real $x$ existe un número natural $n$ tal que $n>x$

Y también he podido demostrar que, como consecuencia de este hecho, que para todo número real positivo $x$ existe un número natural $n$ tal que $1/n<x$

Ahora estoy intentando (y con bastante poco éxito) demostrar que, como consecuencia de lo anterior que para cada positivo $x<5$ existe un número natural $n$ tal que $5-1/n>x$

He empezado por considerar un positivo $x<5$ . Entonces por los resultados anteriores podemos encontrar un número natural $n$ tal que $1/n<x$

¿Debo considerar los casos en este punto? Es decir, considerar cuando $0<x<4$ y luego cuando $4<x<5$ ? Estoy un poco atascado con la forma de aplicar correctamente Arquímedes para llegar a mi resultado propuesto. ¿Ayuda?

Answer 1

Convirtiendo el comentario de Hagen de arriba en una respuesta (hasta que y a menos que él lo publique como respuesta y me informe de ello), ponga $y:=5-x$ . Tenga en cuenta que $y>0$ si (y sólo si) $x<5$ . Utilizando su corolario de la propiedad de Arquímedes, si $x<5$ podemos encontrar un número natural $n$ tal que $$\frac1n<y.$$ Recordando la definición de $y$ y añadiendo $x$ a ambos lados de la desigualdad anterior nos da el resultado deseado.