Valor esperado de un juego de lanzamiento de monedas

Question

El juego es así:

Lanzo una moneda y tú adivinas si es cara o cruz. Jugaremos 10 rondas. Si aciertas, te llevas 1 punto (si te equivocas, 0) y, si aciertas consecutivamente, te llevas 2,3,4, etc. Es decir, si aciertas las 10 rondas, tendrás 1+2+...+10 = 55 puntos.

Por ejemplo, en las 10 rondas, tus aciertos son 'rrrwwrwrr' (r=correcto, w=incorrecto). entonces obtendrás 1+2+3+0+1+0+1+2 = 10 puntos

He descubierto que es bastante difícil calcular el valor esperado de este juego. ¿Alguna idea?

Answer 1

Se puede pensar que se obtiene un punto por cada subcadena de aciertos consecutivos. (Por ejemplo, $3$ las adivinanzas correctas consecutivas contienen $6$ subcadenas de aciertos y rendimiento $6$ puntos). Así, por linealidad de la expectativa, el número esperado de puntos es la suma sobre todas las subcadenas de la probabilidad de que la subcadena consista enteramente en conjeturas correctas. Dado que hay $n-k+1$ subcadenas de longitud $k$ (con $n$ el número de rondas, en su caso $n=10$ ) y una subcadena de longitud $k$ tiene probabilidad $2^{-k}$ de consistir enteramente en aciertos, el valor esperado del juego es

$$ \sum_{k=1}^n(n-k+1)2^{-k}=n-1+2^{-n}\;. $$

Answer 2

Con la sugerencia de @lulu, resolví la respuesta recursivamente. La solución de @joriki es inteligente y concisa.

Considere el valor esperado de un $n$ juego redondo = $E_n$ . Ahora veamos la n+1ª ronda: si el jugador se equivoca, obtendrá 0 puntos adicionales. Si el jugador acierta, obtendrá puntos adicionales que dependerán del número de victorias consecutivas antes de la n+1ª ronda.

El número de permutaciones de obtener n+1, n, n-1, ..., 1 victorias consecutivas (incluyendo la n+1ª) será: $1, 1, 2, 2^2,...,2^{n-1}$ Así que los puntos adicionales serán $1(n+1), 1(n), 2(n-1), 2^2(n-2),...,2^{n-1}$ . La permutación total de las primeras n conjeturas = $2^n$ Por lo tanto, el valor esperado adicional aportado por la n+1ª suposición correcta es

$$ \frac{1}{2^n}[(n+1) + n + 2(n-1) + 2^2(n-2) + ... + 2^{n-1}] = 2 - \frac{1}{2^n}$$

Y como la probabilidad de acertar la n+1ª conjetura es = $\frac{1}{2}$ Así que

$$ E_{n+1} = E_n + \frac{1}{2}(2 - \frac{1}{2^n}) = E_n + 1 - \frac{1}{2^{n+1}} $$

Con $E_1 = \frac{1}{2}$ podemos llegar a

$$ E_{n} = n-1-\frac{1}{2^n} $$

que está de acuerdo con la solución de @joriki. ¡Gracias a todos por la ayuda!