¿Soluciones de Ramp y Cliff para la Ecuación de Burgers Viscosos: ¿Fórmula explícita?

Question

Leí un artículo en el cual los autores describen un fenómeno observado como relacionado con las "soluciones clásicas de rampa y acantilado de Burgers". Estas se describen como soluciones de Burgers que se comportan asintóticamente como una combinación de una solución "rampa" proporcional a $x/t$, junto con una cola que decae exponencialmente ("acantilado"). Ahora estoy interesado en esas soluciones de Burgers.

Observé varios artículos donde se muestran esas soluciones de Burgers (con una mezcla de números y análisis) que aparecen varias veces y dicha ocurrencia está relacionada con la turbulencia. Pero eso no es lo que me interesa.

Estoy interesado en una expresión que describa solo una de esas soluciones. Me imagino que habría una fórmula para la rampa ($x/t$ en el caso de la ecuación clásica de Burgers viscosos) y otra para el acantilado. Luego, habría una condición de Rankine-Hugoniot para conectar ambas. Si alguien conoce una descripción explícita de eso, estaría agradecido por una referencia.

Answer 1

Creo que esto se refiere a la solución de la ecuación de Burgers $u_t + uu_x = \gamma u_{xx}$ con una condición inicial delta de Dirac $u(x,0) = \delta(x)$. Esto se deriva en muchos libros de texto, por ejemplo en el apartado 4.4 de Linear and Nonlinear Waves de Whitham o en el apartado 8.4 de Introduction to Partial Differential Equations de Olver. La ecuación (8.89) en la última fuente da la solución como $$ u(x,t) = 2 \sqrt{\frac{\gamma}{\pi t}} \, \frac{e^{-x^2/(4\gamma t)}}{\coth\left(\dfrac{1}{4\gamma}\right) - \operatorname{erf}\left(\dfrac{x}{2\sqrt{\gamma t}}\right)} . $$ Para valores pequeños de $t>0$ la onda se asemeja a una curva Gaussiana, pero a medida que $t$ crece se expande y se inclina hacia la derecha, tomando una forma más triangular donde sube como una "rampa" y decae hacia cero como un "acantilado":

(Aquí $\gamma=\frac{1}{10}$ y $t \in \{1,2,3,\dots,10\}$.)