Cómo resolver ecuaciones trigonométricas y obtener todas las soluciones mediante gráficas, $\cos(2x-\pi/3)=\cos(x)$

Question

La cuestión es resolver

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos(x)$$

Originalmente lo abordé utilizando las fórmulas de adición, pero el esquema de puntuación mostraba una manera de sustituir primero $x$ a la derecha con $2\pi-x$ y entiendo que esto se debe a la $\cos$ gráfico, sin embargo no entiendo de donde vienen todas las soluciones, agradecería mucho la ayuda para entender

Respuestas: $\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$ y $\frac{13\pi}{3}$ .

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que debido a la $2\pi$ -periodicidad y uniformidad de la función coseno, tenemos $\cos(x)=\cos(\pm x+2k\pi)$ para todos los enteros $k$ .

Si $\cos(2x-\pi/3)=\cos(x)$ entonces $2x-\pi/3=\pm x+2k\pi$ , por lo que encontramos

$$x=\frac{\pi/3+2k\pi}{2\pm 1}$$

Answer 2

$$\cos { \left( 2x-\frac { \pi }{ 3 } \right) =\cos { x } }$$ $$2x-\frac { \pi }{ 3 } =x+2\pi n,\quad \quad \Rightarrow x=\frac { \pi }{ 3 } +2\pi n,\quad$$ $$2x-\frac { \pi }{ 3 } =-x+2\pi n,n=0,\pm 1,\pm 2,..\quad \Rightarrow x=\frac { \pi }{ 9 } +\frac { 2\pi n }{ 3 } ,n=0,\pm 1\quad ,\pm 2,..$$

Answer 3

Hay otras soluciones. Para ver esto, es más sencillo utilizar las congruencias: las ecuaciones básicas en trigonometría son

• $\cos a=\cos b\iff a\equiv \pm b\mod 2\pi$ ,
• $\sin a=\sin b\iff a\equiv\begin{cases}b\\\pi-b\end{cases}\mod 2\pi,$
• $\tan a=\tan b\iff a\equiv b\mod \pi$ .

Aquí se obtiene $$2x-\frac\pi3\equiv\pm x\mod2\pi\iff\begin{cases}x\equiv \dfrac\pi3\mod 2\pi\\[1ex]3x\equiv \dfrac\pi3\mod2\pi\end{cases}\iff\begin{cases}x\equiv \dfrac\pi3\mod 2\pi\\[1ex]x\equiv \dfrac\pi9\mod\dfrac{2\pi}3\end{cases}$$