Cómo evaluar $\int\frac{1}{3+4x+4x^2}$ ?

Question

Cómo evaluar $$\int\frac{1}{3+4x+4x^2}\quad ? $$

Esto es lo que he hecho hasta ahora: $$ \frac{1}{4} \int\frac{1}{x^2+x+\frac{3}{4}} =\frac{1}{4} \int\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}} $$

$$ y = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a},\quad \frac{dy}{du} = \frac{1}{a^2 + u^2} $$ $$ a = \sqrt{\frac{1}{2}},\quad u = (x+\frac{1}{2}),\quad \frac{du}{dx} = 1 $$ así que $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot 1 $$

No sé cómo proceder. ¿Podría también tener alguna ayuda con $$ \int\frac{1}{\sqrt{-4x^2-4x+3}}\quad ? $$

Answer 1

Lo que se puede hacer es una doble sustitución en U

Tenemos $$\int\frac{1}{3+4x+4x^2}dx$$

Completando el cuadrado vemos $$\int\frac{1}{3+4x+4x^2}dx = \int\frac{1}{(2x+1)^2+2}dx$$

Ahora sustituye $u = 2x+1$ y $du = 2udx$ . Ahora nuestra integral se convierte en $$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2+2}du = \frac{1}{2}\int\frac{1}{2(\frac{u^2}{2}+1)}du = \frac{1}{4}\int\frac{1}{(\frac{u^2}{2}+1)}du$$

Ahora sustituimos $s = \frac{u}{\sqrt{2}}$ y $ds = \frac{1}{\sqrt{2}}du$ en el integrando. $$\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{1}{s^2+1}ds$$

$$\int\frac{1}{s^2+1}ds = \tan^{-1}(s)$$ Así que nos quedamos con $$\frac{\tan^{-1}(s)}{2\sqrt{2}}$$

Volver a sustituir $s = \frac{u}{\sqrt{2}}$ , $$\frac{\tan^{-1}(s)}{2\sqrt{2}} = \frac{\tan^{-1}(\frac{u}{\sqrt{2}})}{2\sqrt{2}}$$

Ahora vuelve el sustituto $u = 2x+1$ y $$\frac{\tan^{-1}(\frac{u}{\sqrt{2}})}{2\sqrt{2}} = \frac{\tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{2}})}{2\sqrt{2}}$$ ,

por lo que nuestra respuesta final es $$\boxed{\frac{\tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{2}})}{2\sqrt{2}}+ C}$$

Answer 2

HINT :Completa los cuadrados y utiliza los resultados

$$\int\frac{1}{x^2 + a^2}dx= \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C $$ y $$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$$ .