Cómo encontrar la tercera raíz de un número complejo transformando el número complejo en una raíz

Question

Me gustaría encontrar todas las terceras raíces de este número z = i - 1. Ahora he encontrado fórmulas sobre cómo hacerlo; Primero transformamos el número complejo en esta forma

$$ \sqrt[n]{r} * e^{i\frac {\phi + 2k\pi}{n}} $$ Donde n debe ser 3 (por la raíz 3) y k debe ser k = n - 1 (Incluyendo 0)

Ahora lo que no tengo muy claro es qué hacer con este -1? Si transformo esto supongo que obtengo esto.

$$\sqrt[3]{-1} * e^{i\frac {\pi/2 + 2k\pi}{3}}$$

Pero, ¿entonces qué? Si fuera una 2ª raíz podría decir que es simplemente i (la raíz de un número negativo) pero como es una 3ª raíz no sé muy bien qué hacer a continuación?

Ahora para el phi (ángulo) acabo de asumir esto; $$i = e^{i \frac {\pi}{2}}$$ Y no estoy muy seguro de esto

Gracias.

EDIT: Con gran ayuda de la gente en los comentarios; creo que lo he resuelto.Así que como ya se dijo en los comentarios; $$ r = \sqrt 2, \phi = \frac{3\pi}{4} $$ Ahora bien, si introdujera esto en mi fórmula, obtendríamos lo siguiente;

$$ \sqrt[6]{2} * e^{i\frac{3pi/4 + 2k\pi}{3}} $$

Ahora, como ya se ha dicho, k = 0... n-1;

k = 0 --> $$ \sqrt[6]{2} * e^{i(\pi/4)} $$ k = 1 --> $$ \sqrt[6]{2} * e^{i(11\pi/12)} $$ k = 2 --> $$ \sqrt[6]{2} * e^{i(19\pi/12)} $$

¿Crees que lo he hecho bien?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align}i-1&=-1+i\\&=\sqrt2\left(-\frac1{\sqrt2}+\frac i{\sqrt2}\right)\\&=\sqrt2e^{3\pi i/4}.\end{align} Por lo tanto, las raíces cúbicas de $i-1$ son $$\sqrt[6]2e^{\pi i/4},\ \sqrt[6]2e^{\pi i/4+2\pi i/3}(=\sqrt[6]2e^{11\pi i/12})\text{, and }\sqrt[6]2e^{\pi i/4+4\pi i/3}(=\sqrt[6]2e^{19\pi i/12}).$$

Answer 2

Me resulta mucho más fácil pensar en ellos visualmente. El número con el que se empieza es $i-1$ o en la notación más estándar $-1+i$ . Ese número se encuentra en el segundo cuadrante del plano complejo. Su módulo (es decir, su valor absoluto, o la distancia de $0$ ) es $\sqrt2$ y su argumento (el ángulo entre el eje real positivo y una línea de $0$ a nuestro punto) es $\frac{3\pi}{4}$ .

Encontrarás una raíz cúbica tomando la raíz cúbica del módulo, y dividiendo el argumento por $3$ . Esto viene del teorema de DeMoivre sobre las potencias de los números complejos. Así, la raíz cúbica de $2^{1/2}$ es $2^{1/6}$ y un tercio de $\frac{3\pi}{4}$ es $\frac{\pi}{4}$ .

Por lo tanto, la raíz cúbica principal será $2^{1/6}$ unidades de $0$ en la dirección de $1+i$ . En forma polar, es $2^{1/6}\cdot e^{i\pi/4}$ Considerando que las partes real e imaginaria son iguales, y sus cuadrados suman el cuadrado de $2^{1/6}$ obtenemos el número $a+bi$ , donde $a=b=2^{-1/3}$ . Escribirlo con radicales, eso es $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}i$$

Las otras dos raíces cúbicas tendrán el mismo módulo, pero sus argumentos son $\frac{2\pi}{3}$ y $\frac{4\pi}{3}$ mayor que el argumento de la raíz principal.

¿Responde esto a su pregunta?

Answer 3

Sugerencia: En la fórmula que has utilizado $r$ y $\phi$ son el valor absoluto y el argumento del número complejo $z$ .

El valor absoluto y el argumento de un número complejo $z=x+iy$ se puede calcular como: $$ r=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \phi=\begin {cases}\arccos\frac xr,&y\ge0\\ 2\pi-\arccos\frac xr,&y<0\\ \end {cases}. $$

Especialmente para $z=-1+i$ : $$r=\sqrt2,\quad \phi=\frac{3\pi}4. $$

Answer 4

$$\sqrt[3]{re^{i\theta+2k\pi}}=\sqrt[3]re^{i\theta/3}e^{i2k\pi/3}.$$

Si dejamos que $\omega=e^{i2\pi/3}$ las tres raíces son

$$\sqrt[3]re^{i\theta/3}, \sqrt[3]re^{i\theta/3}\omega,\sqrt[3]re^{i\theta/3}\omega^2.$$

Esto es cierto para cualquier número complejo.

Observe que

$$\omega=-\frac12+i\frac{\sqrt3}2,\omega^2=-\frac12-i\frac{\sqrt3}2.$$ Las siguientes potencias se repiten periódicamente (por eso sólo hay tres raíces distintas). Las tres raíces se obtienen a partir de cualquier raíz, multiplicando una y dos veces por $\omega$ .