Cómo reescribir $\sin^4 \theta$ en términos de $\cos \theta, \cos 2\theta,\cos3\theta,\cos4\theta$ ?

Question

Necesito ayuda para escribir $\sin^4 \theta$ en términos de $\cos \theta, \cos 2\theta,\cos3\theta, \cos4\theta$ .

Mis intentos hasta ahora han sido infructuosos y constantemente obtengo desarrollos demasiado engorrosos y nada elegantes. ¿Cuál es la mejor manera de abordar este problema?

Sé que la respuesta debería ser:

$\sin^4 \theta =\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos2\theta+\frac{1}{8}\cos4\theta$

Por favor, explique cómo hacerlo.

Gracias.

Answer 1

Escribe

$$\sin^4{\theta} = \left ( \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2 i} \right )^4$$

y utilizar el teorema del binomio.

$$\begin{align}\left ( \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2 i} \right )^4 &= \frac{1}{16} (e^{i 4 \theta} - 4 e^{i 2 \theta} + 6 - 4 e^{-i 2 \theta} + e^{-i 4 \theta}) \\ &= \frac{1}{8} (\cos{4 \theta} - 4 \cos{2 \theta} + 3)\end{align}$$

Punto de curiosidad: el Polinomios de Chebyshev se definen de forma que

$$T_n(\cos{\theta}) = \cos{n \theta}$$

Answer 2

$$\begin{align}\sin^4 \theta &= (\sin^2\theta)^2\\ &= \left(\frac12-\frac12\cos(2\theta)\right)^2\\ &= \frac14 \left(1 - \cos(2\theta)\right)^2\\ &= \frac14\left(1 - 2 \cos(2\theta) + \cos^2(2 \theta)\right)\\ &= \frac14\left(1 - 2 \cos(2 \theta) + \frac12(\cos (4\theta) + 1)\right)\\ &= \frac14\left(\frac32 - 2\cos(2\theta) + \frac12\cos(4 \theta)\right)\\ &= \frac38 - \frac12\cos(2\theta) + \frac18\cos(4\theta).\end{align}$$

Answer 3

Sugerencia: Comience por anotar $\sin^4 (\theta)=\left(\sin^2(\theta)\right)\cdot\left(\sin^2(\theta)\right)$ . A continuación, utilice la fórmula del ángulo doble derivada de $\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)=1-2\sin^2 (\theta)$ así que $$\sin^2(\theta)={1\over 2}\cdot\left(1-\cos(2\theta)\right)$$ y ahora se introducen los factores de $\sin^4 (\theta) $ y utilizar la fórmula del ángulo doble para $\cos^2(2\theta) $ para obtener la respuesta requerida.

Answer 4

Aplicando repetidamente las fórmulas \begin{eqnarray*} \sin(x)\sin(y)&=&{1\over2}\left[\cos(x-y)-\cos(x+y)\right]\\[5pt] \sin(x)\cos(y)&=&{1\over2}\left[\sin(x-y)+\sin(x+y)\right] \end{eqnarray*} verás cómo escribir las potencias Impares del seno como una combinación lineal de senos, y hasta las potencias del seno como una combinación lineal de cosenos.