Subconjunto $A\subset\mathbb R$ tal que para cualquier intervalo $I$ de longitud $a$ el conjunto $A\cap I$ tiene medida de Lebesgue $a/2$

Question

¿Existe un subconjunto $A\subset\mathbb R$ tal que para cualquier intervalo $I$ de longitud $a$ el conjunto $A\cap I$ tiene medida de Lebesgue $a/2$ ?

¿Puede construirse explícitamente?

Answer 1

Puede utilizar Teorema de la densidad de Lebesgue . Si dicho conjunto existe, entonces para cada punto de $A$ la densidad de Lebesgue sería $\frac{1}{2}$ . Dado que, por el teorema de Lebesgue, la densidad de Lebesgue debe ser $0$ o $1$ casi en todas partes esto es una contradicción.