Demuestre que toda variedad de álgebras mono-unarias está definida por una única identidad.

Question

Demuestre que toda variedad de álgebras mono-unarias está definida por una única identidad.

Intuitivamente esto tiene sentido, pero tengo problemas para demostrarlo. Un ejemplo de álgebra mono-unaria es $\langle \mathbb{N}, f \rangle$ donde $f(n) = n + 1, \forall n \in \mathbb{N}.$ No estoy seguro de qué identidad se utilizaría aquí, tal vez $f^{n}(x) = f^{m}(y), n \le m; m,n \in \mathbb{N}$ . Parece que lo que buscamos es algún tipo de identidad "mínima", ya que a partir de lo anterior podemos generar muchas más identidades del mismo "sabor".

No estoy seguro de cómo generalizar esto más; tiene sentido cuando considero esta álgebra mononaria específica.

Answer 1

Creo que una buena aproximación a esto (puede ser un poco exagerado pero no me parece fácil dar una prueba explícita diferente de esto) es usando álgebras subdirectamente irreducibles.

Quizá sepas cuáles son las álgebras mono-unarias subdirectamente irreducibles (si no, puede ser otro ejercicio interesante).
Estos son $$\mathbf{C}_{n^p}, \quad \mathbf{C}_{n^p}\dot\cup\mathbf{C}_{1}, \quad \mathbf{L}_n, \quad \mathbf{L}_{\infty},$$ donde $p$ es un número primo, $\mathbf{C}_n$ es un ciclo con $n$ elementos, $\mathbf{L}_n$ es una cadena con $n$ elementos y $\mathbf{L}_{\infty}$ es una cadena infinita con un último elemento (respecto a la operación) que es la imagen de itsef.
Así:

---

Ahora sí: $$\mathbf{C}_{p^n}, \mathbf{C}_{p^n} \dot\cup \mathbf{C}_{1} \vDash f^{p^n}(x) \approx x,\; \mathbf{L}_n \vDash f^n(x) \approx f^n(y),\; \mathbf{L}_{\infty} \vDash x \approx x,$$ y $\mathbf{L}_{\infty}$ no satisface ninguna identidad no trivial.

Dejemos, por $n \geq 0$ y $m > 0$ , $$U_n = Mod(f^n(x) \approx f^n(y)),\; U_{m,n} = Mod(f^n(x) \approx f^{n+m}(x)), \; U = Mod(x \approx x).$$ Entonces $V(\mathbf{C}_{p^n}) = V(\mathbf{C}_{p^n} \dot\cup \mathbf{C}_{1}) = U_{p^n,0}$ , $V(\mathbf{L}_n) = U_n$ y $V(\mathbf{L}_{\infty}) = U$ .

Entonces tenemos $$U_i \vee U_j = U_{\max\{i,j\}}, \; U_i \wedge U_j = U_{\min\{i,j\}},$$ $$U_i \vee U_{j,k} = U_{\max\{i,k\},j}, \; U_i \wedge U_{j,k} = U_{\min\{i,k\}},$$ $$U_{ij} \vee U_{kl} = U_{\max\{j,l\},\mathrm{lcm}\{i,k\}}, \; U_{ij} \wedge U_{kl} = U_{\min\{j,l\},\gcd\{i,k\}},$$ y por tanto todas las variedades de álgebras mono-unarias pertenecen a esta familia.

Puede que más adelante busque una referencia de donde saqué una pista sobre esto, pero ahora no la encuentro y no tengo mucho tiempo, lo siento...

---

Editar. Ahora sé por qué no pude encontrar esa referencia: Nunca la tuve. Sólo tenía una reseña de un artículo al que no pude acceder, pero quizás tú sí puedas. De todos modos, supongo que no es estrictamente necesario. Es el revisar del papel La red de clases ecuacionales de álgebras con una operación unaria de Eugene Jacobs y Robert Schwabauer, publicado en El mensual matemático estadounidense , vol. 71 (1964), pp. 151-155.