Hace un cerrado y acotado establece en $\mathbb{R}$ necesariamente contener su supremum y infimum?

Question

Hace un cerrado no vacío y acotado establece en $\mathbb{R}$ necesariamente contener su supremum y infimum?

Mi proceso de pensamiento: Cerrado y acotado significa compacto en $\mathbb{R}$, y una función continua en un conjunto compacto, admite un mínimo y un máximo. La identidad de la función es continua, por lo que admite un mínimo y un máximo en cualquier conjunto compacto, el cual debe ser el mínimo y el máximo de un conjunto compacto.

Es esto válido? Hay una sencilla prueba/refutación?

Answer 1

La prueba es correcta, pero es más bien la no-mínimo, ya que la extrema teorema del valor que se utilice es más fuerte que el resultado que usted desea y la prueba para este caso específico es más fácil que la prueba de dicho teorema.

Suponga que el conjunto no contiene su supremum (que existe desde el conjunto está delimitado). Desde que el conjunto es cerrado, todo un barrio de la supremum se encuentra fuera del conjunto. Este barrio contiene límites superior del conjunto, que son inferiores a los supremum, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Aquí hay otra manera de probar el resultado, que es (era) similar a la joriki la respuesta.

Deje $A \subset \mathbb{R}$ ser cerrado y acotado. Si $A$ es un singleton, entonces hemos terminado. Mientras $A$ tiene una cardinalidad finita este argumento sostiene. Si $A$ tiene un número infinito de elementos, vamos a $L=\sup A$, que existe desde $A$ es compacto y $\mathbb{R}$ es completa. La idea ahora es construir una secuencia en $A$ convergentes a $L$, de donde el crédito, a continuación, siga. Tomar una $\epsilon > 0$, entonces existe un $x_\epsilon \in A$ tal que

$$\tag{1} L-\epsilon \le \ x_\epsilon \le L $$

por definición de la supremum. Desde $\epsilon$ es arbitrario, podemos tomar el límite cuando se aproxima a 0.

Hemos de tener en cuenta

$$ \underset{\epsilon \to 0}{\lim}\ L-\epsilon \le \underset{\epsilon \to 0}{\lim}\ x\epsilon \le L $$ Se argumenta que existe una $x_\epsilon$ que aún pertenece a $A$ por cada $\epsilon$ elegido por la afirmación de la ecuación (1).

Esto nos da $$L\le x_0 \leq L \quad \text{where} \quad x_0= \underset{\epsilon \to 0}{\lim}\ x_\epsilon $$ Así $$L \in A$$ Es decir, $A$ contiene $L=x_0$ ya que es un punto límite, y $A$ es cerrado.