¿Es cada función medible de Lebesgue en $ \mathbb {R}$ el límite puntual de las funciones continuas?

Question

Sé que si $f$ es una función medible de Lebesgue en $[a,b]$ entonces existe una función continua $g$ de tal manera que $|f(x)-g(x)|< \epsilon $ para todos $x \in [a,b] \setminus P$ donde la medida de $P$ es menor que $ \epsilon $ .

Esto parece implicar que cada función medible de Lebesgue en $ \mathbb {R}$ es el límite puntual de las funciones continuas. ¿Esto es correcto?

Answer 1

Pensé en un ejemplo peor. Un límite puntual de una secuencia de funciones continuas es medible por Borel, y hay funciones medibles por Lebesgue que no son medibles por Borel. La función característica de cualquier conjunto de medidas no Borel $0$ será suficiente, por ejemplo.

El problema con "esto parece implicar" es que "casi en todas partes" y "en todas partes" son diferentes.

Answer 2

Tal vez este sería un lugar útil para poner una versión en LaTeX de otro viejo (17 de julio de 2005) post de ciencia y matemáticas mío. Lo que sigue es un ensayo expositivo sobre el Teorema de Luzin.

http://groups.google.com/group/sci.math/msg/680691c6eeb50b91

$ \lambda $ denota la medida de Lebesgue

TEOREMA DE LUZIN (versión sin adornos): Que $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ ser medible y $ \epsilon > 0$ . Entonces existe un conjunto medible $E$ de tal manera que $ \lambda ({ \mathbb R}-E) < \epsilon $ y la restricción de $f$ a $E$ es una función continua de $E$ en $ \mathbb R.$

Tengan en cuenta que estamos hablando de la restricción de $f$ a $E$ siendo continuo, no $f$ siendo continua en cada punto de $E$ . La función característica de los racionales no es continua en ningún punto, sino que después de la eliminación de sólo countably muchos puntos (por lo tanto, " $ \lambda ({ \mathbb R}-E) < \epsilon $ "se satisface de manera muy fuerte), obtenemos una función constante (por lo tanto, una función que es continua de manera muy fuerte).

FRILL 1: En lo anterior, podemos elegir $E$ para ser cerrado. De hecho, podemos elegir $E$ para ser un perfecto conjunto denso en ninguna parte, y creo que esta fue la forma en que se probó originalmente.

FRILL 2: En Frill 1 podemos encontrar un continuo $g:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ de tal manera que $g(x) = f(x)$ para todos $x \in E$ . Esto se debe a que podemos extender cualquier función continua definida en un subconjunto cerrado de $ \mathbb R$ a una función continua definida en todos los $ \mathbb R$ (el teorema de la extensión de Tietze para las funciones definidas en $ \mathbb R$ ).

OBSERVACIÓN 1: El teorema de Luzin falla por $ \epsilon = 0$ . (Considere la función característica de un conjunto denso perfecto en ninguna parte con medida positiva.)

OBSERVACIÓN 2: Cualquier función $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ (no se asume que sea medible) de tal manera que el teorema de Luzin es válido para todos los conjuntos medibles $E$ (o incluso todos los conjuntos densos perfectos de ninguna parte $E$ ) debe ser medible. Es decir, lo contrario del teorema de Luzin se sostiene, y por lo tanto la "propiedad de Luzin" caracteriza la mensurabilidad de las funciones.

UNA APLICACIÓN LIMPIA: Si $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ no tiene límites en cada conjunto de medidas positivas (o incluso en cada conjunto perfecto de medidas positivas), entonces $f$ no se puede medir. Tenga en cuenta que ser ilimitado en cada intervalo implica ser discontinuo en cada punto. (Por lo tanto, ninguna función sin límites en cada intervalo puede ser Baire $1$ . Sin embargo, hay Baire $2$ funciones que no tienen límites en cada intervalo).

Por cierto, Henry Blumberg demostró en 1922 que, dada una arbitraria $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ existe un subconjunto denso y contabilizable $D$ de $ \mathbb R$ de tal manera que la restricción de $f$ a $D$ es continua (Blumberg, "Nuevas propiedades de todas las funciones reales", Transacciones de la Sociedad Matemática Americana 24 (1922), 113-128). En particular, existe un subconjunto infinito $D$ de tal manera que la restricción de $f$ a $D$ es continua. Por otro lado, Sierpinski y Zygmund demostraron en 1923 que existe una función $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ de tal manera que cada restricción de $f$ a un conjunto de cardinalidad $c$ es discontinua ("En una función que es discontinua en cualquier conjunto de potencia del continuo", Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 316-318).

APLICACIÓN DE LA APLICACIÓN: Se puede demostrar que cualquier función no lineal que satisfaga $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para todos $x,y \in { \mathbb R}$ no tiene límites en cada intervalo. Usando el hecho de que si $E$ tiene una medida positiva, entonces $\{x-y: x,y \in E\}$ contiene un intervalo, no es difícil demostrar ahora que cualquier función aditiva no lineal no tiene límites en cada conjunto de medidas positivas, y por lo tanto no es medible. De hecho, cualquier función de este tipo también se mayorizará cada función medible en cada conjunto de medidas positivas. (El hecho de no tener límites sólo significa que mayoriza cada función constante.)

Señalé anteriormente que el teorema de Luzin falla si $ \epsilon = 0.$ Sin embargo, si debilitamos "continuo" a "Baire" $1$ " (un límite puntual de funciones continuas), entonces podemos obtener un $ \epsilon = 0$ versión. Aunque no podemos conseguir $E$ que se cerrará (ver más abajo), todavía podemos conseguir $E$ para ser $F_{ \sigma }$ (una unión contable de conjuntos cerrados).

BAIRE $1$ VERSIÓN DEL TEOREMA DE LUZIN: Deje que $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ ser medible. Entonces existe un $F_{ \sigma }$ set $E$ de tal manera que $ \lambda ({ \mathbb R}-E) = 0$ y la restricción de $f$ a $E$ es un Baire $1$ funciona en $E.$

OBSERVACIÓN 3: El análogo de Frill 2 arriba falla. Existen funciones medibles $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ que no son casi en todas partes iguales a cualquier Baire $1$ función $g:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ . (Considere la función característica de un conjunto de tal manera que tanto el conjunto como su complemento tengan una intersección de medida positiva con cada intervalo. El libro de Oxtoby "Measure and Category", 2ª edición, p. 37 da una muy buena construcción de tal conjunto que también resulta ser $F_{ \sigma }$ . Rudin da la misma construcción en "Conjuntos medibles bien distribuidos", American Mathematical Monthly 90 (1983), 41-42.)

Aparentemente, cuando intentamos probar un Baire $1$ " $ \epsilon = 0$ versión "de Frill 2, el lugar donde las cosas se descomponen es que si $E$ es $F_{ \sigma }$ entonces no todos los Baire $1$ función $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ puede extenderse a todos los $ \mathbb R.$ (Por otro lado, Baire $1$ funciones en $G_{ \delta }$ sets puede se extenderá a Baire $1$ funciones en todos los $ \mathbb R$ .) No parece haber mucho en la literatura sobre la extensión de Baire $1$ funciones, y agradecería cualquier referencia que alguien pueda conocer. La única referencia relevante que conozco es un reciente manuscrito de Kalenda y Spurny titulado "Extensión de las funciones de Baire-one en los espacios topológicos". Sin embargo, se centran en cómo afectan a las cosas varios supuestos topológicos más que en un análisis detallado de la situación de las funciones de valor real de una variable real.

OBSERVACIÓN 4: El análogo de Frill 2 se mantiene si debilitamos a "Baire $1$ a "Baire". $2$ ". Es decir, si $f:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ es medible, entonces existe una $F_{ \sigma }$ set $E$ y un Baire $2$ función $g:{ \mathbb R} \rightarrow { \mathbb R}$ de tal manera que $ \lambda ({ \mathbb R}-E) = 0$ y $f(x) = g(x)$ para todos $x \in E.$ De hecho, existen funciones $g_1$ y $g_2$ que son $C_{UL}$ y $C_{LU}$ en la clasificación de Young (véase LA JOVEN JERARQUÍA a continuación), respectivamente, de manera que $g_{1} \leq f \leq g_{2}$ y $g_{1} = g_{2}$ casi en todas partes. Este resultado es a menudo llamado el teorema de Vitali-Caratheodory. No tengo muchas referencias en la punta de los dedos en este momento, pero un tratamiento bastante bueno se puede encontrar en las páginas 144-147 del libro de Hahn/Rosenthal de 1948 "Set Functions", y la propia versión de Young aparece en las páginas 31-32 de su trabajo "On a new method in the theory of integration", Proceedings of the London Mathematical Society (2) 9 (1911), 15-50.

LA JOVEN JERARQUÍA $g$ pertenece a $C_L$ significa que existe una secuencia $\{f_{n}\}$ de funciones continuas tales que $f_{1} \leq f_{2} \leq f_{3}$ ... y $\{f_{n}\}$ converge de forma puntual a $g$ . En resumen, $g$ es un límite puntual cada vez mayor de las funciones continuas. $C_U$ consiste en disminuir los límites puntuales de las funciones continuas. Si $g$ está limitada, entonces $g$ es $C_L$ iff $g$ es semicontinuo inferior y $g$ es $C_U$ iff $g$ es semicontinuo superior. Las mitades del "sólo si" son verdaderas, incluso si $g$ no está limitado, por lo que si $g$ es ambas cosas $C_L$ y $C_U$ Entonces $g$ será continua. $C_{LU}$ consiste en disminuir los límites puntuales de $C_L$ funciones, y de manera similar para $C_{UL}.$ Young demostró (págs. 23 y 24 de su documento de 1911 que he citado anteriormente) que la colección de Baire $1$ funciones es la intersección de la $C_{LU}$ y $C_{UL}$ colecciones. No recuerdo si se necesita un límite para este último resultado. Sin embargo, sé que, aparte de los problemas de límites, la jerarquía Young continúa refinando la jerarquía Borel. Así, el Baire $2$ funciones son la intersección de la $C_{LUL}$ y $C_{ULU}$ colecciones, y así sucesivamente (incluso transfinitamente a través de todos los ordinales contables). No hay mucho en la literatura sobre la jerarquía de Young (el texto de Hahn de 1921 es posiblemente la mejor fuente), pero un documento que sí lo discute un poco es Michal Morayne, "Algebras de funciones medibles de Borel", Fundamenta Mathematicae 141 (1992), 229-242. De hecho, Morayne estudia un refinamiento que implica tres o cuatro subniveles insertados entre cada uno de los niveles de Young.

Answer 3

No. Los límites puntuales de las funciones continuas son Baire funciones de la clase 1 (o 0 si son simplemente continuos). La función característica de los racionales es medible pero no de la clase 1 de Baire.

Answer 4

Este es un comentario que se añade a la discusión siguiente la respuesta seleccionada pero es un comentario largo, así que lo pongo aquí.

OP hizo esta segunda pregunta, "¿puedo concluir que cada función medible de Lebesgue es el límite puntual de las funciones continuas, por ejemplo?"

Observación 0. Una función medible definida en toda la línea real puede transformarse en una que se defina sólo en el intervalo abierto (0,1), mapeando el dominio $ \mathbb R$ al nuevo dominio (0,1). Por lo tanto, sólo tenemos que considerar las funciones medibles definidas en los intervalos.

Observación 1. Dada una secuencia de funciones $f_n$ en $I = [a,b]$ de tal manera que se acerca cada vez más a $f$ en el sentido de que $|f_n(x) - f(x)| < \frac {1}{n}$ se mantiene para todos $x$ en $I$ menos un conjunto de medidas $< \frac {1}{n}$ NO se deduce que $f$ es el límite a.e. por puntos de $f_n$ .

Observación 2. Dada una secuencia de funciones $f_n$ en $I = [a,b]$ de tal manera que se acerca cada vez más a $f$ en el sentido de que $|f_n(x) - f(x)| < 2^{-n}$ se mantiene para todos $x$ en $I$ menos un conjunto de medidas $< 2^{-n}$ es por eso que $f$ es el límite a.e. por puntos de $f_n$ . Esta es una consecuencia fácil del lema de Borel-Cantelli

Borel-Cantelli lemma en $ \mathbb R$ : Si $E_n$ es una secuencia de subconjuntos (medibles) de $ \mathbb R$ con una medida rápidamente decreciente en el sentido de que $ \sum_n \lambda (E_n) < \infty $ entonces para todos $x$ excepto en un set nulo, $x$ pertenece a $E_n$ para sólo finamente muchos valores de $n$ . Prueba: Por abuso de la notación, si escribimos $E_n$ también significa su función indicadora, y consideramos que la función $ \sum E_n$ . La integral de esta función es finita, por lo tanto la función es a.e. finita.

Para probar la Observación 2, sólo tienes que poner $E_n$ para ser el conjunto de medidas de excepción $< 2^{-n}$ .

Ver Convergencia en medida - Wikipedia, la enciclopedia libre

Observación 3. Si la secuencia de funciones $f_n$ es tal que $|| f_n - f ||_1 < 2^{-n}$ entonces también se deduce que $f$ es el límite a.e. por puntos de $f_n$ . (Prueba: Para mostrar que la medida de $E_n$ = $\{x \in I : |f_n(x)-f(x)| \ge \epsilon \}$ está disminuyendo rápidamente, usa la desigualdad de Markov). Ahora ves que hay un patrón. Es que la convergencia rápida implica una convergencia puntual.

Observación 4. Se podría decir que la Observación 3 responde a la segunda pregunta sólo para $L^1$ funciones, pero cualquier función mensurable puede transformarse en una función delimitada transformando el codominio de $(- \infty , + \infty )$ al intervalo delimitado $(-1,1)$ y el segundo problema es invariable bajo esta transformación.

Observación 5. Si definimos $f_n$ para ser la convolución de $f$ con la función indicadora de $[- \frac {1}{n}, + \frac {1}{n}]$ veces $2n$ Entonces $f_n$ es una secuencia de funciones continuas que convergen en $f$ a.e. si $f$ es integrable. Véase el teorema de diferenciación de Lebesgue.

Observación 6. El segundo principio de los tres principios de análisis real de Littlewood dice que cualquier función mensurable en el yo es aproximadamente continua, y el teorema de Luzin es un ejemplo de ese principio, pero siempre he pensado que otros casos como "Cualquier función mensurable en el yo puede ser aproximada por funciones continuas en el sentido de convergencia en la medida" o "Cualquier función mensurable $L^1$ función en I puede ser aproximada por funciones continuas en el sentido de $L^1$ distancia." para ser mejores instancias porque son más fáciles de trabajar. Más fácil de recordar también.