Suma de Conjuntos que no es unión

Question

Hoy un estudiante me pidió que probara $${A} \cup B \cup C = A+ B+ C- A\cap B - A\cap C$$

Yo no tenía ni idea de lo que significaba precisamente el signo "+", ellos insistían: "Ya sabes que sólo tienes que sumar los conjuntos"; por supuesto, tampoco tenían libro de texto.

Supuse entonces que tal vez $$A\cup B = A+B - A\cap B$$ Pero no estoy muy seguro de lo que significa "-" aquí, normalmente lo intercambiaría con la resta de conjuntos \ y ocasionalmente uso + para significar $\cup$ . En cualquier caso, creo que + tipo de obtiene copias extra de las partes que comparten. Pero realmente no tengo ni idea, ninguna pista.

Answer 1

Parece que el alumno se refería a las cardinalidades de los conjuntos y no a los conjuntos en sí. Por ejemplo, es cierto que $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$ Pero en este escenario la primera ecuación sigue sin cumplirse, porque $$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$$ Pero si un alumno está dispuesto a decir "ya sabes, sólo hay que sumar los conjuntos", entonces no es del todo inviable que simplemente haya omitido/olvidado/copiado incorrectamente los dos últimos términos.

(No hay una definición obvia de $+$ que haría que tu primera ecuación se mantuviera, donde por "definición obvia" quiero decir o bien con cardinalidades como las anteriores, o bien donde $+$ significa unión disjunta).

Answer 2

Antes de buscarlo ahora mismo, no sabía que no se podían tener elementos duplicados en un conjunto. Intuitivamente " $A\cup B\cup C = A \cup B - A\cap B - A\cap C$ " tenía mucho sentido para mí por esto. Si pensabas que los conjuntos podían tener varias copias del mismo elemento (como yo hacía hace un par de minutos), no es difícil ver también la unión de A y B ( $A\cup B$ ) como simplemente agrupar todos los elementos en un conjunto (A+B) y filtrar los duplicados ( $-A\cap B$ ).

He supuesto que A + B se define (informalmente) como la simple unión de dos conjuntos sin tener en cuenta la duplicidad de elementos.

En primer lugar: La operación "+" asigna dos conjuntos o "setts" a un "sett", donde un "sett" es esencialmente un conjunto con duplicidad permitida. Así que $\{1,2,3\} + \{2,3,4\} = \{\{1,2,2,3,3,4\}\}$ .

Y la sustracción es simplemente tu sustracción de conjuntos regular ampliada para operar en "conjuntos".

De esta definición se desprende que $A\cup B + A\cap B = A+B$ . Así que sí, esencialmente $A\cup B = A+B - A\cap B$ .

Tenías razón con tu suposición de que $A+B$ "como que se obtiene una copia extra de las partes que comparten".

Podría esforzarme en demostrar la afirmación original del estudiante, pero estoy seguro de que gente más inteligente que yo puede averiguarlo. Por no mencionar que no di definiciones formales muy claras para '+'.

Además, me disculpo por mi terrible formato.